1. Phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α)$, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm mặt phẳng $(β)$ chứa đường thẳng $d.$
+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ (Xem thêm: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng).
+ Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng $d$ và $c$, khi đó $A$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α).$
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ không song song với $CD$. Gọi $S$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng $(ABCD)$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MAB).$
Trên mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I = AM ∩ SO.$
Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD.$
Ta có $(SBD) ∩ (MAB) = BI.$
Trên mặt phẳng $(SBD)$, gọi $N = BI ∩ SD$ thì $N = SD ∩ (MAB).$
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy hai điểm $M$, $N$ lần lượt trên $AC$ và $AD$ sao cho $MN$ không song song $CD.$ Lấy điểm $O$ bên trong $ΔBCD.$
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(BCD).$
b) Tìm giao điểm của các đường thẳng $BC$, $BD$ với mặt phẳng $(OMN)$.
a) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $NM$ và $CD.$
Hiển nhiên $OI = (OMN) ∩ (BCD).$
b) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $H$, $K$ là giao điểm của $OI$ với $BC$, $BD.$
$K,H \in OI \Rightarrow K,H \in (OMN).$
Vậy $H = BC ∩ (OMN)$, $K = BD ∩ (OMN).$
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SC.$
a) Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Lấy điểm $N$ trên cạnh $BC.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AMN).$
a) Xét mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $AM.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AC$ thì $SO = (SAC) ∩ (SBD).$
Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ và $AM$ thì $I = AM ∩ (SBD).$
b) Xét mặt phẳng phụ $(SBD)$ chứa $SD.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AN$ thì $IY = (SBD) ∩ (AMN).$
Trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $IY$ và $SD$ thì $K = SD ∩ (AMN).$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là hai điểm trong của các tam giác $ABC$ và $BCD.$ Giả sử $IK$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $H.$ Tìm $H.$
Xét mặt phẳng $(BIK)$ chứa $IK.$
Trong mặt phẳng $(ABC)$: $BI$ cắt $AC$ tại $M.$
Trong mặt phẳng $(BCD)$: $BK$ cắt $CD$ tại $N$ thì $MN = (BIK) ∩ (ACD).$
Trong mặt phẳng $(BIK)$, giả sử $IK$ cắt $MN$ tại $H$ thì $H$ chính là giao điểm của $IK$ và mặt phẳng $(ACD).$
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC.$
a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$ Chứng minh $IA = 2IM.$
b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABM).$ Chứng minh $F$ là trung điểm của $SD.$
c) Lấy điểm $N$ tùy ý trên cạnh $AB.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$
a) Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$
Trong mặt phẳng $(SAC)$, $AM$ cắt $SO$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$
Do $I$ là trọng tâm tam giác $ΔSAC$ nên $IA = 2IM.$
b) Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABM).$
Trong mặt phẳng $(SBD)$, $BI$ cắt $SD$ tại $F$ thì $F = SD ∩ (ABM).$
Do $I$ cũng là trọng tâm $ΔSBD$ nên $F$ là trung điểm $SD.$
c) Xét mặt phẳng $(MAB)$ chứa $MN$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(MAB)$ và mặt phẳng $(SBD).$
Trong mặt phẳng $(MAB)$, $MN$ cắt $BI$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$
Ví dụ 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$
a) Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNK).$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNK)$ và $(ABD).$
a) Xét mặt phẳng $(BCD)$ chứa $CD.$
Do $NK$ không song song với $CD$ nên $NK$ cắt $CD$ tại $I.$
$I ∈ NK ⇒ I ∈ (MNK).$
Vậy $CD$ cắt $(MNK)$ tại $I.$
b) Trong mặt phẳng $(ACD)$, $MI$ cắt $AD$ tại $E.$
Ta có $K ∈ BD ⇒ K ∈ (ABD)$ và $K ∈ (MNK).$
Mặt khác: $E ∈ AD ⇒ E ∈ (ABD)$, $E ∈ MI ⇒ E ∈ (MNK).$
Vậy $EK = (MNK) ∩ (ABD).$
Lưu ý: $I ∈ NK$ nên $I ∈ (MNK).$ Do đó $MI ∈ (MNK).$
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$
a) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(IJK).$
b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(IJK).$
c) Lấy $M$, $N$ trên $AB$, $CD$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(IJK).$
a) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $KJ$ thì $E = CD ∩ (IJK).$
b) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AD.$
$F ∈ EI ⇒ F ∈ (IJK).$
Vậy $F = AD ∩ (IJK).$
c) Trong mặt phẳng $(DAC)$ gọi $A’$ là giao điểm của $AN$ và $IF.$
Trong mặt phẳng $(DBC)$ gọi $B’$ là giao điểm của $BN$ và $KJ.$
Trong mặt phẳng $(NAB)$ gọi $P$ là giao điểm của $A’B’$ và $MN.$
Do $P ∈ A’B’$ nên $P ∈ (IJK).$
Vậy $MN ∩ (IJK) = P.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình thang đáy lớn $AB.$ Lấy $I$, $Y$, $K$ lần lượt trên $SA$, $AB$, $BC.$ Tìm giao điểm của:
a) $IK$ và $(SBD).$
b) $SD$ và $(IYK).$
c) $SC$ và $(IYK).$
a) Xét mặt phẳng $(SKA)$ chứa $KI.$
Trong $(ABDC)$ gọi $H$ là giao điểm của $AK$ và $BD$ thì $SH = (SKA) ∩ (SBD).$
Trong mặt phẳng $(SAK)$ gọi $P$ là giao điểm của $SH$ và $IK$ thì $P = IK ∩ (SBD).$
b) Xét mặt phẳng $(SAD)$ chứa $SD.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Q$ là giao điểm của $YK$ và $AD$ thì $IQ = (SAD) ∩ (IYK).$
Trong mặt phẳng $(SAD)$ gọi $M$ là giao điểm của $QI$ và $SD$ thì $M = SD ∩ (IYK).$
c) Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC.$
Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $N$ là giao điểm của $IY$ và $SB$ thì $KN = (SBC) ∩ (IYK).$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $R$ là giao điểm của $NK$ và $SC$ thì $N = SC ∩ (IYK).$
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSAD.$
a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$ Chứng minh $IC = 2ID.$
b) Tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$ Tính tỉ số $\frac{{JA}}{{JD}}.$
c) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(OMG).$
a) Gọi $H$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SA.$
Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $BH$ cắt $CD$ tại $I.$
Trên mặt phẳng $(SBH)$, $MG$ cắt $BH$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$
Ta có:
$I ∈ GM$ nên $I ∈ (MN, CD).$
$I ∈ BH$ nên $I ∈ (ABCD).$
Mà giao tuyến của mặt phẳng $(MN, CD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $CD$ nên $I ∈ CD.$
Do $HD$ là đường trung bình của tam giác $ΔIBC$ nên $IC = 2ID.$
b) Xét mặt phẳng $(ABCD)$ chứa $AD.$
Ta có $OI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(OMG)$ và mặt phẳng $(ABCD).$
Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $OI$ cắt $AD$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$
Tam giác $ΔAIC$ có $IO$ và $AD$ là hai đường trung tuyến nên $J$ là trọng tâm $ΔAIC.$
Vậy $\frac{{JA}}{{JD}} = 2.$
c) Xét mặt phẳng $(SDA)$ chứa $SA$ thì $GJ$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(OMG).$
Trong mặt phẳng $(SAD)$, $GJ$ cắt $SA$ tại $K$ thì $K = SA ∩ (OMG).$
3. Bài tập rèn luyện
1. Cho tứ diện $ABCD.$ Trên $AC$ và $AD$ lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với $CD.$ Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$
a) Tìm giao tuyến của $(IMN)$ và $(BCD).$
b) Tìm giao điểm của $BC$ và $BD$ với $(CMN).$
2. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Lấy điểm $M$ trên $SC$, $N$ trên $BC$. Tìm giao điểm của:
a) $AM$ và $(SBD).$
b) $SD$ và $(AMN).$
3. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy điểm $M$, $N$ trên $AC$, $AD$. Lấy $O$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$ Tìm giao điểm của:
a) $MN$ và $(ABD).$
b) $OA$ và $(BMN).$
4. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy $I$, $J$ là hai điểm bên trong $ΔABC$ và $ΔABD$, $M$ là điểm trên $CD.$ Tìm giao điểm của $IJ$ và $(ABM).$
5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC$. Lấy $K$ trên đoạn $SB.$ Tìm giao điểm của:
a) $BC$ và $(SAD).$
b) $SC$ và $(AKD).$
6. Cho tứ diện $S.ABC$. Gọi $I$, $H$ là trung điểm của $SA$, $AB$. Trên $SC$ lấy điểm $K$ sao cho $CK = 3KS.$
a) Tìm giao điểm của $BC$ và $(IHK).$
b) Gọi $M$ là trung điểm của $IH.$ Tìm giao điểm của $KM$ và $(ABC).$
Để giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α)$, ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm mặt phẳng $(β)$ chứa đường thẳng $d.$
+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ (Xem thêm: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng).
+ Tìm giao điểm $A$ của hai đường thẳng $d$ và $c$, khi đó $A$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(α).$
2. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB$ không song song với $CD$. Gọi $S$ là điểm nằm ngoài mặt phẳng $(ABCD)$, $M$ là trung điểm của $SC$. Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MAB).$
Trên mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I = AM ∩ SO.$
Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD.$
Ta có $(SBD) ∩ (MAB) = BI.$
Trên mặt phẳng $(SBD)$, gọi $N = BI ∩ SD$ thì $N = SD ∩ (MAB).$
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy hai điểm $M$, $N$ lần lượt trên $AC$ và $AD$ sao cho $MN$ không song song $CD.$ Lấy điểm $O$ bên trong $ΔBCD.$
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(OMN)$ và $(BCD).$
b) Tìm giao điểm của các đường thẳng $BC$, $BD$ với mặt phẳng $(OMN)$.
a) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $NM$ và $CD.$
Hiển nhiên $OI = (OMN) ∩ (BCD).$
b) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $H$, $K$ là giao điểm của $OI$ với $BC$, $BD.$
$K,H \in OI \Rightarrow K,H \in (OMN).$
Vậy $H = BC ∩ (OMN)$, $K = BD ∩ (OMN).$
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $SC.$
a) Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$
b) Lấy điểm $N$ trên cạnh $BC.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AMN).$
a) Xét mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $AM.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $O$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AC$ thì $SO = (SAC) ∩ (SBD).$
Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $SO$ và $AM$ thì $I = AM ∩ (SBD).$
b) Xét mặt phẳng phụ $(SBD)$ chứa $SD.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $BD$ và $AN$ thì $IY = (SBD) ∩ (AMN).$
Trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $IY$ và $SD$ thì $K = SD ∩ (AMN).$
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là hai điểm trong của các tam giác $ABC$ và $BCD.$ Giả sử $IK$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $H.$ Tìm $H.$
Xét mặt phẳng $(BIK)$ chứa $IK.$
Trong mặt phẳng $(ABC)$: $BI$ cắt $AC$ tại $M.$
Trong mặt phẳng $(BCD)$: $BK$ cắt $CD$ tại $N$ thì $MN = (BIK) ∩ (ACD).$
Trong mặt phẳng $(BIK)$, giả sử $IK$ cắt $MN$ tại $H$ thì $H$ chính là giao điểm của $IK$ và mặt phẳng $(ACD).$
Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC.$
a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$ Chứng minh $IA = 2IM.$
b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABM).$ Chứng minh $F$ là trung điểm của $SD.$
c) Lấy điểm $N$ tùy ý trên cạnh $AB.$ Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$
a) Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD.$
Trong mặt phẳng $(SAC)$, $AM$ cắt $SO$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $AM$ và mặt phẳng $(SBD).$
Do $I$ là trọng tâm tam giác $ΔSAC$ nên $IA = 2IM.$
b) Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $SD$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SBD)$ và mặt phẳng $(ABM).$
Trong mặt phẳng $(SBD)$, $BI$ cắt $SD$ tại $F$ thì $F = SD ∩ (ABM).$
Do $I$ cũng là trọng tâm $ΔSBD$ nên $F$ là trung điểm $SD.$
c) Xét mặt phẳng $(MAB)$ chứa $MN$ thì $BI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(MAB)$ và mặt phẳng $(SBD).$
Trong mặt phẳng $(MAB)$, $MN$ cắt $BI$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $MN$ và mặt phẳng $(SBD).$
Ví dụ 6: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên đoạn $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$
a) Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNK).$
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNK)$ và $(ABD).$
a) Xét mặt phẳng $(BCD)$ chứa $CD.$
Do $NK$ không song song với $CD$ nên $NK$ cắt $CD$ tại $I.$
$I ∈ NK ⇒ I ∈ (MNK).$
Vậy $CD$ cắt $(MNK)$ tại $I.$
b) Trong mặt phẳng $(ACD)$, $MI$ cắt $AD$ tại $E.$
Ta có $K ∈ BD ⇒ K ∈ (ABD)$ và $K ∈ (MNK).$
Mặt khác: $E ∈ AD ⇒ E ∈ (ABD)$, $E ∈ MI ⇒ E ∈ (MNK).$
Vậy $EK = (MNK) ∩ (ABD).$
Lưu ý: $I ∈ NK$ nên $I ∈ (MNK).$ Do đó $MI ∈ (MNK).$
Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $I$, $J$ là trung điểm của $AC$ và $BC.$ Trên $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD.$
a) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(IJK).$
b) Tìm giao điểm $F$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(IJK).$
c) Lấy $M$, $N$ trên $AB$, $CD$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(IJK).$
a) Trong mặt phẳng $(BCD)$ gọi $E$ là giao điểm của $CD$ và $KJ$ thì $E = CD ∩ (IJK).$
b) Trong mặt phẳng $(ACD)$ gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AD.$
$F ∈ EI ⇒ F ∈ (IJK).$
Vậy $F = AD ∩ (IJK).$
c) Trong mặt phẳng $(DAC)$ gọi $A’$ là giao điểm của $AN$ và $IF.$
Trong mặt phẳng $(DBC)$ gọi $B’$ là giao điểm của $BN$ và $KJ.$
Trong mặt phẳng $(NAB)$ gọi $P$ là giao điểm của $A’B’$ và $MN.$
Do $P ∈ A’B’$ nên $P ∈ (IJK).$
Vậy $MN ∩ (IJK) = P.$
Ví dụ 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình thang đáy lớn $AB.$ Lấy $I$, $Y$, $K$ lần lượt trên $SA$, $AB$, $BC.$ Tìm giao điểm của:
a) $IK$ và $(SBD).$
b) $SD$ và $(IYK).$
c) $SC$ và $(IYK).$
a) Xét mặt phẳng $(SKA)$ chứa $KI.$
Trong $(ABDC)$ gọi $H$ là giao điểm của $AK$ và $BD$ thì $SH = (SKA) ∩ (SBD).$
Trong mặt phẳng $(SAK)$ gọi $P$ là giao điểm của $SH$ và $IK$ thì $P = IK ∩ (SBD).$
b) Xét mặt phẳng $(SAD)$ chứa $SD.$
Trong mặt phẳng $(ABCD)$ gọi $Q$ là giao điểm của $YK$ và $AD$ thì $IQ = (SAD) ∩ (IYK).$
Trong mặt phẳng $(SAD)$ gọi $M$ là giao điểm của $QI$ và $SD$ thì $M = SD ∩ (IYK).$
c) Xét mặt phẳng $(SBC)$ chứa $SC.$
Trong mặt phẳng $(SAB)$ gọi $N$ là giao điểm của $IY$ và $SB$ thì $KN = (SBC) ∩ (IYK).$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ gọi $R$ là giao điểm của $NK$ và $SC$ thì $N = SC ∩ (IYK).$
Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ΔSAD.$
a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$ Chứng minh $IC = 2ID.$
b) Tìm giao điểm $J$ của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$ Tính tỉ số $\frac{{JA}}{{JD}}.$
c) Tìm giao điểm $K$ của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(OMG).$
a) Gọi $H$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SA.$
Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $BH$ cắt $CD$ tại $I.$
Trên mặt phẳng $(SBH)$, $MG$ cắt $BH$ tại $I$ thì $I$ là giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ABCD).$
Ta có:
$I ∈ GM$ nên $I ∈ (MN, CD).$
$I ∈ BH$ nên $I ∈ (ABCD).$
Mà giao tuyến của mặt phẳng $(MN, CD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $CD$ nên $I ∈ CD.$
Do $HD$ là đường trung bình của tam giác $ΔIBC$ nên $IC = 2ID.$
b) Xét mặt phẳng $(ABCD)$ chứa $AD.$
Ta có $OI$ là giao tuyến của mặt phẳng $(OMG)$ và mặt phẳng $(ABCD).$
Trên mặt phẳng $(ABCD)$, $OI$ cắt $AD$ tại $J$ thì $J$ là giao điểm của $AD$ và mặt phẳng $(OMG).$
Tam giác $ΔAIC$ có $IO$ và $AD$ là hai đường trung tuyến nên $J$ là trọng tâm $ΔAIC.$
Vậy $\frac{{JA}}{{JD}} = 2.$
c) Xét mặt phẳng $(SDA)$ chứa $SA$ thì $GJ$ là giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(OMG).$
Trong mặt phẳng $(SAD)$, $GJ$ cắt $SA$ tại $K$ thì $K = SA ∩ (OMG).$
3. Bài tập rèn luyện
1. Cho tứ diện $ABCD.$ Trên $AC$ và $AD$ lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với $CD.$ Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$
a) Tìm giao tuyến của $(IMN)$ và $(BCD).$
b) Tìm giao điểm của $BC$ và $BD$ với $(CMN).$
2. Cho hình chóp $S.ABCD.$ Lấy điểm $M$ trên $SC$, $N$ trên $BC$. Tìm giao điểm của:
a) $AM$ và $(SBD).$
b) $SD$ và $(AMN).$
3. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy điểm $M$, $N$ trên $AC$, $AD$. Lấy $O$ là điểm bên trong tam giác $ΔBCD.$ Tìm giao điểm của:
a) $MN$ và $(ABD).$
b) $OA$ và $(BMN).$
4. Cho tứ diện $ABCD.$ Lấy $I$, $J$ là hai điểm bên trong $ΔABC$ và $ΔABD$, $M$ là điểm trên $CD.$ Tìm giao điểm của $IJ$ và $(ABM).$
5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AD$ không song song với $BC$. Lấy $K$ trên đoạn $SB.$ Tìm giao điểm của:
a) $BC$ và $(SAD).$
b) $SC$ và $(AKD).$
6. Cho tứ diện $S.ABC$. Gọi $I$, $H$ là trung điểm của $SA$, $AB$. Trên $SC$ lấy điểm $K$ sao cho $CK = 3KS.$
a) Tìm giao điểm của $BC$ và $(IHK).$
b) Gọi $M$ là trung điểm của $IH.$ Tìm giao điểm của $KM$ và $(ABC).$
