Cách dựng khoảng cách từ 1 điểm tới một mặt phẳng

[Doremon]

Giả sử ta có một điểm H và một mặt phẳng (α) hãy nêu cách dựng khoảng cách từ 1 điểm H tới mặt phẳng (α)

Hướng dẫn

Bước 1 :
Tìm một đường thẳng Δ đi H vuông góc với (β) và cắt mặt phẳng (α) tại A (H1)
Bước 2 :
+) Qua H kẻ HB vuông góc vơi giao tuyến d của (α) và (β) (HB ∩ d = B)
+) Nối B với A → $\left\{ \begin{array}{l}d \bot HB\\d \bot \Delta \end{array} \right. \to d \bot (ABH)\,\,\,(1)$
Bước 3: Kẻ HB $\bot$ AB và chứng minh d(H, (α)) = HK
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot d\quad do\;(1)\\HK \bot AB\end{array} \right. \to HK \bot (\alpha) \to d(H,(\alpha )) = HK$

Một số bài tập không nằm trong trường hợp này(Thường là các đề thi đại học )

Tính chất : Khoảng cách từ d(A, (α)) = AC; d(H, (α)) = HD;
Tam giác ACE đồng dạng tam giác HDE:
$\frac{{AC}}{{HD}} = \frac{{CE}}{{HE}} = \frac{{AE}}{{HE}} \to \frac{{AC}}{{HD}} = \frac{{AE}}{{HE}} \to \frac{{d(A,(\alpha ))}}{{d(H,(\alpha ))}} = \frac{{AE}}{{HE}}\left( 1 \right)$

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{C^2}}}\quad (2)$

Ví dụ 1 .
Khoảng cách từ điểm H đã tính được và đã biết tỉ số FI:HI. Tính d(F, (α)) = ?

Giải

Theo (1) $\frac{{d(F,(\alpha ))}}{{d(H,(\alpha ))}} = \frac{{FI}}{{HI}} \to d(F,(\alpha )) = \frac{{FI}}{{HI}}.d(H,(\alpha ))$

Ví dụ 2.
Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh a. cạnh
SO = a√3. M ∈ AD, N ∈ SA, SA = 3NA, W ∈SD, WS = 4WD

1. Tính khoảng cách d(O, (SBC)) = ?
2. Tính khoảng cách d(A, (SBC)) = ?
3. Tính khoảng cách d(M, (SBC)) = ?
4. Tính khoảng cách d(N, (SBC)) = ?
5. Tính khoảng cách d(W, (SBC)) = ?

Giải​

1. Tính khoảng cách d(O, (SBC)) = ?
Xem lại cách dựng và dễ dàng tính được khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
(Các bạn tự tính . Giả sử d(O, (SBC)) = k)

2.Tính khoảng cách d(A, (SBC)) = ?
(Xem ví dụ 1 . Vì khoảng cách từ O tới (ABC) bằng k )
$\frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{d\left( {O,(SBC)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = 2d\left( {O,(SBC)} \right) = 2k$

3.Tính khoảng cách d(M, (SBC)) = ?
Vì AD // (SBC) → d(M, (SBC)) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) = 2k

4. Tính khoảng cách d(N, (SBC)) = ?
( Từ điểm N mà tính khoảng cách thì rất khó , Quy điểm N về điểm O)
Ta đã có d(O, (SBC)) = k nên ta → d(A, (SBC)) = 2k (Ở phần trên)
Ta cũng có $\frac{{NS}}{{{\rm{AS}}}} = \frac{1}{3} \to \frac{{d\left( {N,(SBC)} \right)}}{{d\left( {A,(SBC)} \right)}} = \frac{{NS}}{{{\rm{AS}}}} = \frac{1}{3} \leftrightarrow d\left( {N,(SBC)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{2k}}{3}$

5.Tính khoảng cách d(W, (SBC)) = ?
Ta có : Vì AD // (SBC) →d(A, (SBC)) = d(D, (SBC)) = 2k
$\frac{{DS}}{{{\rm{DW}}}} = \frac{5}{4};\frac{{d\left( {D,(SBC)} \right)}}{{d\left( {{\rm{W}},(SBC)} \right)}} = \frac{{SD}}{{{\rm{W}}S}} = > d\left( {{\rm{W}},(SBC)} \right) = \frac{{{\rm{W}}S}}{{SD}}.d\left( {D,(SBC)} \right) = \frac{5}{4}2k = \frac{{5k}}{2}$

Nhận xét : Các bài tính khoảng cách từ một A điểm tới mặt phẳng ta thường làm như sau
1. Tìm một điểm H nào đó mà dễ tính khoảng cách nhất (α)”Điểm này thường là chân đường cao của hình chóp, hình trụ….”
2. Tìm một đường thẳng đi qua A và H đồng thời cắt (α) tại I. →$\frac{{d\left( {H,(\alpha )} \right)}}{{d\left( {A,(\alpha )} \right)}} = \frac{{HI}}{{AI}}$ (Đề bài chắc chắn sẽ cho biết tỉ số HI:AI)
(Bài tập : Các đề thi đại học đã thi)

 

[dentrangtrimacani]

Câu này giải thế nào ạ!
Tổng khoảng cách từ một điểm trong bất kì của khối tứ diện đều cạnh a đến tất cả các mặt của nó bằng
A. \(\frac{\sqrt{6}a}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{6}a}{3}\)
C. \(2a\sqrt{3}\)
D. \(a\sqrt{3}\)

 

[dentrangtrimacani]

Cho tứ diện ABCD có \(AD \bot (ABC),AC = AD = 4;AB = 3;BC = 5\). Tính khoảng cách từ A đên mặt phẳng (BCD).
A. \(\frac{6}{{\sqrt {34} }}\)
B. \(\frac{4}{{\sqrt {34} }}\)
C. \(\frac{12}{{\sqrt {34} }}\)
D. \(\frac{5}{{\sqrt {34} }}\)

 

[chacavungtau2017]

Cho em hỏi câu này!
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
A. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3}}{2}\)
C. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = a\)
D. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

 

[chacavungtau2017]

Cho em hỏi câu này!
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3\) . Biết diện tích tam giác SAB là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
A. \(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)
B. \(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\)
C. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

 

[chan chan]

Cho em hỏi
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = a\sqrt 3 ,\,BC = a\). Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC).
A. \(h = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
B. \(h = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\)
C. \(h = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)
D. \(h = \frac{{2a\sqrt {15} }}{3}\)

 

[Changkhongtu_02]

Help me!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\widehat {BAD} = {120^0}\), M là trung điểm của cạnh BC và \(\widehat {SMA} = {45^0}\). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC).
A. \(d = a\sqrt 3\)
B. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

 

[chaoaenhe]

Cho em hỏi câu này!
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
A. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{6}{{\sqrt {34} }}\)
B. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}\)
C. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{4}}{{\sqrt {34} }}\)
D. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{3}}{{\sqrt {34} }}\)

 

[CHAT]

Câu này giải thế nào ạ!
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tính theo a khoảng cách d từ G đến các mặt của tứ diện.
A. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{9}\)
B. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
C. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
D. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{12}\)

 

[CHAT]

Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bẳng a^3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
A. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{6}\)
B. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
C. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{3}\)
D. \(h = \sqrt3a\)

 

[Châu chấu]

Cho em hỏi câu này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{{a^3}}}{3}\). Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBE) theo a.
A. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(h = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
C. \(h = \frac{{a}}{3}\)
D. \(h = \frac{{2a}}{3}\)

 

[Châu Giang0110]

Câu này giải thế nào ạ!
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V=8. M, N là hai điểm sao cho \overrightarrow {SM} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {SB} = 3\overrightarrow {SN} và diện tích tam giác AMN bằng 2. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (AMN).
A. \(d = \frac{9}{2}\)
B. \(d = 9\)
C. \(d = \frac{3}{2}\)
D. \(d = 6\)

 

[Châu Giang0110]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB=BC=a và AD=4a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC).
A. \(d = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(d = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\)
C. \(d = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(d = 4a\sqrt 3\)

 

[chauhoangthong]

Câu này giải thế nào ạ!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của cạnh SD. Biết rằng khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3\) và tam giác MAC là tam giác đều cạnh a, hãy tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (MAC).
A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
C. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
D. \(d = a\sqrt 3\)

 

[xemercedes]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, thể tích khối chóp là \(a^3\). Tính chiều cao h của hình chóp.
A. \(h=a\)
B. \(h=2a\)
C. \(h=3a\)
D. \(h=4a\)