Nâng cao Chuyên đề mặt Cầu trong không gian giải tích

[Vân Anh2k]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu (S) có phương trình \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\). Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với (S). Gọi M và N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
A. \(MN = 2\sqrt 2 .\)
B. \(MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
C. \(MN = \sqrt 6 .\)
D. \(MN =4.\)

 

[Vân Anh2k]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;-4) và mặt phẳng (P): x+y-2z+1=0. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình mặt cầu (S).
A. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 25\)
B. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 13\)
C. \(\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\)
D. \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 13\)

 

[vân cẩm]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{x + 3}}{1} = \frac{z}{2}\) . Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng \(2\sqrt{2}\) và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ tâm I.
A. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( {5;2;10} \right)\)
B. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( {0; - 3;0} \right)\)
C. \(I\left( {5;2;10} \right),I\left( {0; - 3;0} \right)\)
D. \(I\left( {1; - 2;2} \right),I\left( { - 1;2; - 2} \right)\)

 

[toan2kbv]

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;3;4} \right)\) và \(C\left( {3;5; - 2} \right).\) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A. \(I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right)\)
B. \(I\left( {\frac{{37}}{2}; - 7;0} \right)\)
C. \(I\left( { - \frac{{27}}{2};15;2} \right)\)
D. \(I\left( {2;\frac{7}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\)

 

[reviewdao2209]

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 4 = 0\) theo giao tuyến đường tròn (C). Tính diện tích S của hình tròn giới hạn bởi (C).
A. \(S=6\pi\)
B. \(S = \frac{{2\pi \sqrt {78} }}{3}\)
C. \(S = \frac{{26\pi }}{3}\)
D. \(S = 2\pi \sqrt 6\)

 

[Cẩm Dung 66]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ tâm J của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 64 với mặt phẳng \left( \alpha \right):2x + 2y + z + 10 = 0.
A. \(J\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right).\)
B. \(J(-2;-2;-2)\)
C. \(J\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}} \right).\)
D. \(J\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{7}{3}} \right).\)

 

[Kha Nguyễn]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx - 2(m - 1)y - mz + m - 2 = 0.\) Với mọi \(m \in \mathbb{R},\) mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn đi qua một đường tròn cố định. Tính bán kính r của đường tròn đó.
A. \(r = 3.\)
B. \(r = \sqrt 2 .\)
C. \(r = \sqrt 3 .\)
D. \(r = 2.\)

 

[Khải Hoàng]

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 4 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0.\) Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn này.
A. 4
B. 3
C. 5
D. \(\sqrt {34} \)

 

[nale2962]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và điểm \(I\left( {2; - 1;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông cân tại I.
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9.\)
B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9.\)
C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8.\)
D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{80}}{9}.\)

 

[vachnganhoavan1]

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm \(I\left( { - 2;3;4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ?
A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 2\).
B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\).
C. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 4\).
D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\).

 

[vachnganhoavan1]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 2.\) Tìm tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S).
A. \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(R = 2.\)
B. \(I\left( { - 1;1;0} \right)\) và \(R = \sqrt 2 .\)
C. \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(R = 2.\)
D. \(I\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(R = \sqrt 2 .\)

 

[vachnganhoavan1]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;2; - 4} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxz?
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\)
B. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\)
C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16\)

 

[vân cẩm]

Trong không gian độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 100\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2{\rm{x}} - 2y - z + 9 = 0.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tính bán kính R của đường tròn (C).
A. \(R = 6.\)
B. \(R = 3.\)
C. \(R = 8.\)
D. \(R = 2\sqrt 2 .\)

 

[Vân cao]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),B\left( {1; - 3;1} \right),C\left( {2;2;3} \right)\). Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là:
A. \(\sqrt {34} \)
B. \(\sqrt {26} \)
C. 34
D. 26

 

[di Angelo]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right)\), \(C\left( {0;0;6} \right)\) và \(D\left( {2;4;6} \right)\). Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\) là mặt cầu có phương trình:
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\)

 

[dichchuan123]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\) và ba điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( { - 1;0;1} \right),\,\,C\left( {0;2;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và đi qua ba điểm A, B, C.
A. \({\left( {x + \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\)
B. \({\left( {x - \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\)
C. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\)
D. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\)

 

[dichngonngu]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng: \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 2 = 0,\) \(\left( Q \right):x + 2y - 2z + 4 = 0\). Mặt cầu (S) có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng đã cho có phương trình là:
A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
C. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)

 

[dichvukienvang]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y + 1 = 0\). Tính tọa độ tâm I, bán kính R của mặt cầu (S).
A. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 9\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 3\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = 3\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}I\left( {3; - 1;0} \right)\\R = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

 

[Diễn đàn học mãi]

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} + 2y + z = 0,\)\(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - y - z = 0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) và ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\)\(B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).\) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng
chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, AC?
A. 1 mặt cầu.
B. 2 mặt cầu.
C. 4 mặt cầu.
D. Vô số mặt cầu.

 

[Diễm Phúc]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y + 1 = 0.\) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm A, B và tiếp xúc với (S)?
A. 1
B. Vô số.
C. 0
D. 2