I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài toán: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất r = 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
1. Phương trình mũ cơ bản
${a^x} = b$ (a > 0, a ≠ 1)
• b > 0: ${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
• b ≤ 0: ph.trình vô nghiệm.
• Minh hoạ bằng đồ thị: Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số $y = {a^x}$ và y = b.
VD1: Giải các phương trình:
a) ${4^{2{\rm{x}} - 1}} = 1 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
b) ${3^{ - 3{\rm{x}} + 1}} = 9 \Leftrightarrow - 3{\rm{x}} + 1 = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$
c) ${2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
d) ${5^{{x^2} - 3{\rm{x}}}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
${a^{f(x)}} = {a^{g({\rm{x)}}}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$
VD3: Giải các phương trình:
a) ${(1,5)^{5{\rm{x}} - 7}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{5{\rm{x}} - 7}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 1}} \Leftrightarrow x = 1$
b) ${9^{3{\rm{x}} - 1}} = {3^{8{\rm{x}} - 2}} \Leftrightarrow {3^{2(3{\rm{x}} - 1)}} = {3^{8{\rm{x}} - 2}} \Leftrightarrow x = 0$
c) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2}} = {2^{4 - 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow {2^{ - ({x^2} - 2)}} = {2^{4 - 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
d) ${3^x}{.2^{x + 1}} = 72 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2$
b) Đặt ẩn phụ
${a^{2f(x)}} + {b^{f(x)}} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {a^{f(x)}},\,t > 0\\a{t^2} + bt + c = 0
\end{array} \right.$VD4: Giải các phương trinh:
a) ${9^x} - {4.3^x} - 45 = 0$
b) ${4^x} + {2^{x + 1}} - 8 = 0$
c) ${16^x} - {17.4^x} + 16 = 0$
c) Logarit hoá
${a^{f(x)}} = {b^{g(x)}}$
Lấy logarit hai vế với cơ số bất kì.
VD5: Giải các phương trình:
a) ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$
b) ${2^{{x^2} - 1}} + {2^{{x^2} + 2}} = {3^{{x^2}}} + {3^{{x^2} - 1}}$
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Minh hoạ bằng đồ thị:
Đường thẳng y = b luôn cắt đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ tại một điểm với b R.
Phương trình ${\log _a}x = b$ (a > 0, a ≠ 1) luôn có duy nhất một nghiệm $x = {a^b}$.
VD1: Giải các phương trình:
a) ${\log _3}x = \frac{1}{4}$
b) ${\log _2}\left[ {x({\rm{x}} - 1)} \right] = 1$
c) ${\log _3}({x^2} - 8{\rm{x}}) = 2$
2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) > 0\,,\,(\,\,g(x) > 0)
\end{array} \right.$
VD2: Giải các phương trình:
a) ${\log _3}x + {\log _9}x = 6$
b) ${\log _2}x + {\log _4}x + {\log _8}x = 11$
c) ${\log _4}x + {\log _{\frac{1}{{16}}}}x + {\log _8}x = 7$
d) ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6$
b) Đặt ẩn phụ
$A\log _a^2f(x) + B{\log _a}f(x) + C = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {\log _a}f(x)\\
A{t^2} + Bt + C = 0
\end{array} \right.$
VD3: Giải các phương trình:
a) ${\log _{\frac{1}{2}}}x + \log _2^2x = 2$
b) $\frac{1}{{5 - \lg x}} + \frac{2}{{1 + \lg x}} = 1$
c) ${\log _5}x - {\log _x}\frac{1}{5} = 2$
c) Mũ hoá
${\log _a}f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) = {a^{g(x)}}$
VD4: Giải các phương trình:
a) ${\log _2}(5 - {2^x}) = 2 - x$
b) ${\log _3}({3^x} - 8) = 2 - x$
c) ${\log _5}(26 - {3^x}) = 2$
Bài toán: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất r = 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi kép). Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
1. Phương trình mũ cơ bản
${a^x} = b$ (a > 0, a ≠ 1)
• b > 0: ${a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b$
• b ≤ 0: ph.trình vô nghiệm.
• Minh hoạ bằng đồ thị: Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 đồ thị của 2 hàm số $y = {a^x}$ và y = b.
VD1: Giải các phương trình:
a) ${4^{2{\rm{x}} - 1}} = 1 \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
b) ${3^{ - 3{\rm{x}} + 1}} = 9 \Leftrightarrow - 3{\rm{x}} + 1 = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$
c) ${2^{{x^2} - 3{\rm{x}} + 1}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
d) ${5^{{x^2} - 3{\rm{x}}}} = \frac{1}{{25}} \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
${a^{f(x)}} = {a^{g({\rm{x)}}}} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$
VD3: Giải các phương trình:
a) ${(1,5)^{5{\rm{x}} - 7}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 1}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{5{\rm{x}} - 7}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - x - 1}} \Leftrightarrow x = 1$
b) ${9^{3{\rm{x}} - 1}} = {3^{8{\rm{x}} - 2}} \Leftrightarrow {3^{2(3{\rm{x}} - 1)}} = {3^{8{\rm{x}} - 2}} \Leftrightarrow x = 0$
c) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2}} = {2^{4 - 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow {2^{ - ({x^2} - 2)}} = {2^{4 - 3{\rm{x}}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
d) ${3^x}{.2^{x + 1}} = 72 \Leftrightarrow {6^x} = 36 \Leftrightarrow x = 2$
b) Đặt ẩn phụ
${a^{2f(x)}} + {b^{f(x)}} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {a^{f(x)}},\,t > 0\\a{t^2} + bt + c = 0
\end{array} \right.$VD4: Giải các phương trinh:
a) ${9^x} - {4.3^x} - 45 = 0$
b) ${4^x} + {2^{x + 1}} - 8 = 0$
c) ${16^x} - {17.4^x} + 16 = 0$
c) Logarit hoá
${a^{f(x)}} = {b^{g(x)}}$
Lấy logarit hai vế với cơ số bất kì.
VD5: Giải các phương trình:
a) ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$
b) ${2^{{x^2} - 1}} + {2^{{x^2} + 2}} = {3^{{x^2}}} + {3^{{x^2} - 1}}$
II. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
${\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}$
Minh hoạ bằng đồ thị:
Đường thẳng y = b luôn cắt đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ tại một điểm với b R.
Phương trình ${\log _a}x = b$ (a > 0, a ≠ 1) luôn có duy nhất một nghiệm $x = {a^b}$.
VD1: Giải các phương trình:
a) ${\log _3}x = \frac{1}{4}$
b) ${\log _2}\left[ {x({\rm{x}} - 1)} \right] = 1$
c) ${\log _3}({x^2} - 8{\rm{x}}) = 2$
2. Cách giải một số phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số
${\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) > 0\,,\,(\,\,g(x) > 0)
\end{array} \right.$
VD2: Giải các phương trình:
a) ${\log _3}x + {\log _9}x = 6$
b) ${\log _2}x + {\log _4}x + {\log _8}x = 11$
c) ${\log _4}x + {\log _{\frac{1}{{16}}}}x + {\log _8}x = 7$
d) ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6$
b) Đặt ẩn phụ
$A\log _a^2f(x) + B{\log _a}f(x) + C = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {\log _a}f(x)\\
A{t^2} + Bt + C = 0
\end{array} \right.$
VD3: Giải các phương trình:
a) ${\log _{\frac{1}{2}}}x + \log _2^2x = 2$
b) $\frac{1}{{5 - \lg x}} + \frac{2}{{1 + \lg x}} = 1$
c) ${\log _5}x - {\log _x}\frac{1}{5} = 2$
c) Mũ hoá
${\log _a}f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) = {a^{g(x)}}$
VD4: Giải các phương trình:
a) ${\log _2}(5 - {2^x}) = 2 - x$
b) ${\log _3}({3^x} - 8) = 2 - x$
c) ${\log _5}(26 - {3^x}) = 2$
