Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau. Các em luyện thi đại học cần phải nhớ những ví dụ này vì nó được coi như bổ đề để các em áp dụng giải những bài khó của phần tích phân.
I. Bổ đề
Bổ đề 1. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx = \int\limits_0^1 {{x^n}{{\left( {1 - x} \right)}^m}dx} }$
Giải
Xét $I = \int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx} $
Đặt: t = 1 – x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 0
Vậy: $I = \int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx} = - \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^m}{t^n}dt = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - t} \right)}^m}{t^n}dt} } $ (đpcm)
Bổ đề 2.Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ - a, a ] thì : $I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx = 0} $
Giải
$I = \int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} } } \quad \left( 1 \right)$
Xét $\int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx}$. Đặt t = - x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = - a → t = a
x = 0 → t = 0
Vậy: $\int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^a {f\left( { - t} \right)dt = - \int\limits_0^a {f\left( t \right)dt} }$
Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh: Nếu f(x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn [- a, a] thì $I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx = 2\int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx} $
Cho a > 0 và f(x) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R.
Bổ đề 3.Chứng minh rằng: $\int\limits_{ - \alpha }^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)} dx}$
Xét $\int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}} dx$. Đặt t = - x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = - α → t = α
x = 0 → t = 0
Vậy $\int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}} dx = \int\limits_0^\alpha {\frac{{f\left( { - t} \right)}}{{{a^{ - t}} + 1}}dt = \int\limits_0^\alpha {\frac{{{a^t}f\left( t \right)}}{{{a^t} + 1}}} }$
Thế vào (1) ta được: $\int\limits_{ - \alpha }^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{{a^x}f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx + \int\limits_0^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx} } } = \int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx}$ (đpcm)
Bổ đề 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1]. Chứng minh rằng :
$\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)dx} }$
Đổi cận:
x = 0 → t = π
x = π → t = 0
$\begin{array}{l}\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - t} \right).f\left[ {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right]dt = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - t} \right).f\left( {\sin t} \right)dt} } \\ = \pi \int\limits_0^\pi {f\left( {\sin t} \right)dt - \int\limits_0^\pi {t.f\left( {\sin t} \right)dt} } \\ \Rightarrow \quad 2\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \pi \int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)} dx\\ \Rightarrow \quad \int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)} dx\end{array}$
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a, b] và f(a + b – x) = f(x). Thì ta luôn có :
$\int\limits_a^b {x.f\left( x \right)dx = \frac{{a + b}}{2}\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} } $
Bổ đề 5.Cho hàm số f(x) liên tục,xác định, tuần hoàn trên Rvà có chu kì T. Chứng minh rằng: $\int\limits_a^{a + T} {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} } $
Vậy ta cần chứng minh $\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx = \int\limits_T^{a + T} {f\left( x \right)dx} }$
Xét $\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} $. Đặt t = x + T → dt = dx
Đổi cận:
x = 0 → t = T
x = a → t = a + T
Vậy: $\int\limits_T^{a + T} {f\left( {t - T} \right)dt = \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)} dt} $
Hay: $\int\limits_a^{a + T} {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} } $ (đpcm)
Từ bài toán trên, ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f(x) liên tục,xác định, tuần hoàn trên R và có chu kì T, thì ta luôn có : $\int\limits_0^T {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f\left( x \right)dx} }$
II. Bạn đọc tự làm:
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x{{\left( {1 - x} \right)}^6}dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\sin }^2}x.\cos x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^\pi {\frac{{x.\sin x}}{{9 + 4{{\cos }^2}x}}dx} $
d) ${I_4} = \int\limits_0^\pi {\frac{{x.\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $
e) ${I_5} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2}\left| {\sin x} \right|}}{{1 + {2^x}}}dx} $
f) ${I_6} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} + \sin x}}{{1 + {x^2}}}dx} $
g) ${I^ * }_7 = \int\limits_0^{2\pi } {\ln \left( {\sin x + \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} } \right)dx} $
h) ${I^ * }_8 = \int\limits_0^{2009\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} } dx$
I. Bổ đề
Bổ đề 1. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx = \int\limits_0^1 {{x^n}{{\left( {1 - x} \right)}^m}dx} }$
Giải
Xét $I = \int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx} $
Đặt: t = 1 – x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = 0 → t = 1
x = 1 → t = 0
Vậy: $I = \int\limits_0^1 {{x^m}{{\left( {1 - x} \right)}^n}dx} = - \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^m}{t^n}dt = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - t} \right)}^m}{t^n}dt} } $ (đpcm)
Bổ đề 2.Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ - a, a ] thì : $I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx = 0} $
Giải
$I = \int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} } } \quad \left( 1 \right)$
Xét $\int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx}$. Đặt t = - x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = - a → t = a
x = 0 → t = 0
Vậy: $\int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^a {f\left( { - t} \right)dt = - \int\limits_0^a {f\left( t \right)dt} }$
Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh: Nếu f(x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn [- a, a] thì $I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx = 2\int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx} $
Cho a > 0 và f(x) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R.
Bổ đề 3.Chứng minh rằng: $\int\limits_{ - \alpha }^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)} dx}$
Giải
$\int\limits_{ - \alpha }^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx + \int\limits_0^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx} \quad \left( 1 \right)} } $Xét $\int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}} dx$. Đặt t = - x → dt = - dx → dx = - dt
Đổi cận:
x = - α → t = α
x = 0 → t = 0
Vậy $\int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}} dx = \int\limits_0^\alpha {\frac{{f\left( { - t} \right)}}{{{a^{ - t}} + 1}}dt = \int\limits_0^\alpha {\frac{{{a^t}f\left( t \right)}}{{{a^t} + 1}}} }$
Thế vào (1) ta được: $\int\limits_{ - \alpha }^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \int\limits_{ - \alpha }^0 {\frac{{{a^x}f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx + \int\limits_0^\alpha {\frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx} } } = \int\limits_0^\alpha {f\left( x \right)dx}$ (đpcm)
Bổ đề 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1]. Chứng minh rằng :
$\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)dx} }$
Giải
Xét $\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} $. Đặt t = π – x → dt = - dx → dx = - dtĐổi cận:
x = 0 → t = π
x = π → t = 0
$\begin{array}{l}\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - t} \right).f\left[ {\sin \left( {\pi - t} \right)} \right]dt = \int\limits_0^\pi {\left( {\pi - t} \right).f\left( {\sin t} \right)dt} } \\ = \pi \int\limits_0^\pi {f\left( {\sin t} \right)dt - \int\limits_0^\pi {t.f\left( {\sin t} \right)dt} } \\ \Rightarrow \quad 2\int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \pi \int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)} dx\\ \Rightarrow \quad \int\limits_0^\pi {x.f\left( {\sin x} \right)dx} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {f\left( {\sin x} \right)} dx\end{array}$
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ a, b] và f(a + b – x) = f(x). Thì ta luôn có :
$\int\limits_a^b {x.f\left( x \right)dx = \frac{{a + b}}{2}\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} } $
Bổ đề 5.Cho hàm số f(x) liên tục,xác định, tuần hoàn trên Rvà có chu kì T. Chứng minh rằng: $\int\limits_a^{a + T} {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} } $
Giải
$\int\limits_a^{a + T} {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^T {f\left( x \right)dx} } + \int\limits_T^{a + T} {f\left( x \right)dx = } \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} + \int\limits_T^{a + T} {f\left( x \right)dx} $Vậy ta cần chứng minh $\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx = \int\limits_T^{a + T} {f\left( x \right)dx} }$
Xét $\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} $. Đặt t = x + T → dt = dx
Đổi cận:
x = 0 → t = T
x = a → t = a + T
Vậy: $\int\limits_T^{a + T} {f\left( {t - T} \right)dt = \int\limits_T^{a + T} {f\left( t \right)} dt} $
Hay: $\int\limits_a^{a + T} {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^T {f\left( x \right)dx} } $ (đpcm)
Từ bài toán trên, ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f(x) liên tục,xác định, tuần hoàn trên R và có chu kì T, thì ta luôn có : $\int\limits_0^T {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {f\left( x \right)dx} }$
II. Bạn đọc tự làm:
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x{{\left( {1 - x} \right)}^6}dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\sin }^2}x.\cos x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^\pi {\frac{{x.\sin x}}{{9 + 4{{\cos }^2}x}}dx} $
d) ${I_4} = \int\limits_0^\pi {\frac{{x.\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $
e) ${I_5} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2}\left| {\sin x} \right|}}{{1 + {2^x}}}dx} $
f) ${I_6} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} + \sin x}}{{1 + {x^2}}}dx} $
g) ${I^ * }_7 = \int\limits_0^{2\pi } {\ln \left( {\sin x + \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} } \right)dx} $
h) ${I^ * }_8 = \int\limits_0^{2009\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} } dx$
