Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, dựng ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {BC} .$
Ta có: ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( B \right) = C.$
Để tìm ảnh của điểm $A$, ta dựng hình bình hành $ABCD.$
Do $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $ nên ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( A \right) = D.$
Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$, khi đó: $\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BC} .$
Suy ra ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( C \right) = E.$
Vậy ảnh của tam giác $ABC$ là tam giác $DCE$.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\overrightarrow{v}=\left( -2;3 \right)$. Hãy tìm ảnh của điểm $A\left( 1;-1 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.
Gọi $A’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + a\\
y’ = y + b
\end{array} \right.$
Ta có: $A’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = 1 + ( – 2)\\
y’ = – 1 + 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 1\\
y’ = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow A’\left( { – 1;2} \right).$
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow v = \left( {1; – 3} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x – 3y + 5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}.$
Cách 1.
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $2x – 3y + 5 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + 1\\
y’ = y – 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – 1\\
y = y’ + 3
\end{array} \right.$
Thay vào $(*)$ ta được phương trình $2\left( {x’ – 1} \right) – 3\left( {y’ + 3} \right) + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow 2x’ – 3y’ – 6 = 0.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:2x – 3y – 6 = 0.$
Cách 2.
Do $d’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( d \right)$ nên $d’$ song song hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình đường thẳng $d’$ có dạng $2x – 3y + c = 0.$
Lấy điểm $M\left( { – 1;1} \right) \in d.$ Khi đó $M’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ = \left( { – 1 + 1;1 – 3} \right) = \left( {0; – 2} \right).$
Do $M’ \in d’$ $ \Rightarrow 2.0 – 3.\left( { – 2} \right) + c = 0$ $ \Leftrightarrow c = – 6.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng: $d’:2x – 3y – 6 = 0.$
Cách 3.
Lấy $M\left( { – 1;1} \right)$, $N\left( {2;3} \right)$ thuộc $d$, ảnh của $M$, $N$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}$ tương ứng là $M’\left( {0; – 2} \right)$, $N’\left( {3;0} \right).$
Vì $d’$ đi qua hai điểm $M’, N’$ nên $d’$ có phương trình $\frac{{x – 0}}{3} = \frac{{y + 2}}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0.$
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0.$ Tìm ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v = \left( {2; – 3} \right).$
Cách 1.
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc đường tròn $\left( C \right)$, ta có: ${x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + 2\\
y’ = y – 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – 2\\
y = y’ + 3
\end{array} \right.$
Thay vào phương trình $(*)$ ta được: ${\left( {x’ – 2} \right)^2} + {\left( {y’ + 3} \right)^2}$ $ + 2\left( {x’ – 2} \right) – 4\left( {y’ + 3} \right) – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} – 2x’ + 2y’ – 7 = 0.$
Vậy ảnh của $\left( C \right)$ là đường tròn $\left( {C’} \right)$: ${x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0.$
Cách 2.
Ta có: $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2} \right)$ và bán kính $r = 3.$
Gọi $\left( {C’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( C \right)} \right)$ và $I’\left( {x’;y’} \right)$, $r’$ là tâm và bán kính của $(C’).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 1 + 2 = 1\\
y’ = 2 – 3 = – 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I’\left( {1; – 1} \right)$ và $r’ = r = 3$ nên phương trình của đường tròn $\left( {C’} \right)$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9.$
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, dựng ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {BC} .$
Ta có: ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( B \right) = C.$
Để tìm ảnh của điểm $A$, ta dựng hình bình hành $ABCD.$
Do $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} $ nên ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( A \right) = D.$
Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$, khi đó: $\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {BC} .$
Suy ra ${T_{\overrightarrow {BC} }}\left( C \right) = E.$
Vậy ảnh của tam giác $ABC$ là tam giác $DCE$.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\overrightarrow{v}=\left( -2;3 \right)$. Hãy tìm ảnh của điểm $A\left( 1;-1 \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.
Gọi $A’\left( {x’;y’} \right)$ là ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$.
Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + a\\
y’ = y + b
\end{array} \right.$
Ta có: $A’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = 1 + ( – 2)\\
y’ = – 1 + 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 1\\
y’ = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow A’\left( { – 1;2} \right).$
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\overrightarrow v = \left( {1; – 3} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x – 3y + 5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $d’$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}.$
Cách 1.
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $2x – 3y + 5 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + 1\\
y’ = y – 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – 1\\
y = y’ + 3
\end{array} \right.$
Thay vào $(*)$ ta được phương trình $2\left( {x’ – 1} \right) – 3\left( {y’ + 3} \right) + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow 2x’ – 3y’ – 6 = 0.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng $d’:2x – 3y – 6 = 0.$
Cách 2.
Do $d’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( d \right)$ nên $d’$ song song hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình đường thẳng $d’$ có dạng $2x – 3y + c = 0.$
Lấy điểm $M\left( { – 1;1} \right) \in d.$ Khi đó $M’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ = \left( { – 1 + 1;1 – 3} \right) = \left( {0; – 2} \right).$
Do $M’ \in d’$ $ \Rightarrow 2.0 – 3.\left( { – 2} \right) + c = 0$ $ \Leftrightarrow c = – 6.$
Vậy ảnh của $d$ là đường thẳng: $d’:2x – 3y – 6 = 0.$
Cách 3.
Lấy $M\left( { – 1;1} \right)$, $N\left( {2;3} \right)$ thuộc $d$, ảnh của $M$, $N$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}$ tương ứng là $M’\left( {0; – 2} \right)$, $N’\left( {3;0} \right).$
Vì $d’$ đi qua hai điểm $M’, N’$ nên $d’$ có phương trình $\frac{{x – 0}}{3} = \frac{{y + 2}}{2}$ $ \Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0.$
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0.$ Tìm ảnh của $\left( C \right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v = \left( {2; – 3} \right).$
Cách 1.
Lấy điểm $M\left( {x;y} \right)$ tùy ý thuộc đường tròn $\left( C \right)$, ta có: ${x^2} + {y^2} + 2x – 4y – 4 = 0$ $\left( * \right).$
Gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x’ = x + 2\\
y’ = y – 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x’ – 2\\
y = y’ + 3
\end{array} \right.$
Thay vào phương trình $(*)$ ta được: ${\left( {x’ – 2} \right)^2} + {\left( {y’ + 3} \right)^2}$ $ + 2\left( {x’ – 2} \right) – 4\left( {y’ + 3} \right) – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} – 2x’ + 2y’ – 7 = 0.$
Vậy ảnh của $\left( C \right)$ là đường tròn $\left( {C’} \right)$: ${x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 7 = 0.$
Cách 2.
Ta có: $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2} \right)$ và bán kính $r = 3.$
Gọi $\left( {C’} \right) = {T_{\overrightarrow v }}\left( {\left( C \right)} \right)$ và $I’\left( {x’;y’} \right)$, $r’$ là tâm và bán kính của $(C’).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x’ = – 1 + 2 = 1\\
y’ = 2 – 3 = – 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow I’\left( {1; – 1} \right)$ và $r’ = r = 3$ nên phương trình của đường tròn $\left( {C’} \right)$ là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9.$
