Phương pháp: Nếu ${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=M’$ và đểm $M$ di động trên hình $\left( H \right)$ thì điểm $M’$ thuộc hình $\left( H’ \right)$, trong đó $\left( H’ \right)$ là ảnh của hình $\left( H \right)$ qua ${{T}_{\overrightarrow{v}}}$.
Ví dụ 9. Cho hai điểm phân biệt $B,C$ cố định trên đường tròn $\left( O \right)$tâm $O$. Điểm $A$ di động trên $\left( O \right)$. Chứng minh khi $A$ di động trên $\left( O \right)$ thì trực tâm của tam giác $ABC$ di động trên một đường tròn.
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $BO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$.
Vì $\widehat{BCD}={{90}^{0}}$, nên $DC\parallel AH$. Tương tự $AD\parallel CH.$
Do đó $ADCH$ là hình bình hành.
Suy ra $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OM}$ không đổi.
$\Rightarrow {{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( A \right)=H$.
Vì vậy khi $A$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ thì $H$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)={{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( \left( O \right) \right)$.
Ví dụ 10. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, $\widehat{BAC}=\alpha $ không đổi và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $B,C$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó theo định lí sin ta có $\frac{BC}{\sin \alpha }=2R$ không đổi (do $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi).
Vậy $OA = R = \frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}$, nên $O$ di động trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AO = \frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}.$
Ta có $OB = OC = R$ không đổi và $\widehat {BOC} = 2\alpha $ không đổi suy ra $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$ $ = \frac{{{{180}^0} – 2\alpha }}{2}$ không đổi.
Mặt khác $\overrightarrow {BC} $ có phương không đổi nên $\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} $ cũng có phương không đổi.
Đặt $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{v_1}} $, $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{v_2}} $ không đổi, thì ${T_{\overrightarrow {{v_1}} }}\left( O \right) = B$, ${T_{\overrightarrow {{v_2}} }}\left( O \right) = C.$
Vậy tập hợp điểm $B$ là đường tròn $\left( {{A_1};\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ ảnh của $\left( {A,\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {{v_1}} }}$ và tập hợp điểm $C$ là đường tròn $\left( {{A_2};\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ ảnh của $\left( {A,\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {{v_2}} }}.$
Ví dụ 9. Cho hai điểm phân biệt $B,C$ cố định trên đường tròn $\left( O \right)$tâm $O$. Điểm $A$ di động trên $\left( O \right)$. Chứng minh khi $A$ di động trên $\left( O \right)$ thì trực tâm của tam giác $ABC$ di động trên một đường tròn.
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $BO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$.
Vì $\widehat{BCD}={{90}^{0}}$, nên $DC\parallel AH$. Tương tự $AD\parallel CH.$
Do đó $ADCH$ là hình bình hành.
Suy ra $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OM}$ không đổi.
$\Rightarrow {{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( A \right)=H$.
Vì vậy khi $A$ di động trên đường tròn $\left( O \right)$ thì $H$ di động trên đường tròn $\left( O’ \right)={{T}_{2\overrightarrow{OM}}}\left( \left( O \right) \right)$.
Ví dụ 10. Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định, $\widehat{BAC}=\alpha $ không đổi và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi. Tìm tập hợp các điểm $B,C$.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
Khi đó theo định lí sin ta có $\frac{BC}{\sin \alpha }=2R$ không đổi (do $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}$ không đổi).
Vậy $OA = R = \frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}$, nên $O$ di động trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AO = \frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}.$
Ta có $OB = OC = R$ không đổi và $\widehat {BOC} = 2\alpha $ không đổi suy ra $\widehat {OBC} = \widehat {OCB}$ $ = \frac{{{{180}^0} – 2\alpha }}{2}$ không đổi.
Mặt khác $\overrightarrow {BC} $ có phương không đổi nên $\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} $ cũng có phương không đổi.
Đặt $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{v_1}} $, $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{v_2}} $ không đổi, thì ${T_{\overrightarrow {{v_1}} }}\left( O \right) = B$, ${T_{\overrightarrow {{v_2}} }}\left( O \right) = C.$
Vậy tập hợp điểm $B$ là đường tròn $\left( {{A_1};\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ ảnh của $\left( {A,\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {{v_1}} }}$ và tập hợp điểm $C$ là đường tròn $\left( {{A_2};\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ ảnh của $\left( {A,\frac{{BC}}{{2\sin \alpha }}} \right)$ qua ${T_{\overrightarrow {{v_2}} }}.$
