Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025 môn Toán của Sở Giáo dục & Đào tạo Hà Tĩnh. Cập nhật mới nhất, bám sát cấu trúc đề minh họa, kèm đáp án chi tiết dễ hiểu.
Câu 1: Cho cấp số nhân $\left( {{U}_{n}} \right)$với ${{u}_{1}}=2$ và công bội $q=3$. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân ?
A.48.
B. 54.
C. 24.
D. 162.
Câu 2: Cho hàm số có đồ thi như hình vẽ bên dưới. Phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
A. $x=2,y=1$.
B. $x=1,y=2$.
C. $x=1,y=1$.
D. $x=-1,y=1$.
Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{align} & x=2-t \\ & y=1+2t \\ & z=3+t \\ \end{align} \right.\,\,,\left( t\in \mathbb{R} \right)$. Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?
A. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -1;\,2;\,1 \right)$.
B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;\,2;\,3 \right)$.
C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 2;\,1;\,3 \right)$.
D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 2;\,1;\,1 \right)$.
Câu 4: Tính $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ biết rằng $\int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)-x \right]\text{d}x}=3.$
A. $2$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $3$.
Câu 5: Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là ${{Q}_{1}},{{Q}_{2}},{{Q}_{3}}$. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng:
A. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{1}}-{{Q}_{2}}$.
B. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}$.
C. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{2}}-{{Q}_{1}}$.
D. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{1}}-{{Q}_{3}}$.
Câu 6: Cho hàm số $f\left( x \right)=\cos x+2$. Tìm mệnh đề đúng?
A. $\int{f\left( x \right)}\,dx=\sin x+2+C$. B.$\int{f\left( x \right)}\,dx=\cos x+2x+C$.
C. $\int{f\left( x \right)}\,dx=-\sin x+2x+C$.
D. $\int{f\left( x \right)}\,dx=\sin x+2x+C$.
Câu 7: Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $SA\bot \left( ABCD \right)$. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với $SA$?
A. $SC$.
B. $BD$.
C. $SB$.
D. $SD$.
Câu 8: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=1$ là
A. $x=3$.
B. $x=4$.
C. $x=2$.
D. $x=1$.
Câu 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là
A. $-4$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $0$.
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình ${{3}^{x}}<81$ là
A. $S=\left( 3;81 \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;4 \right)$.
C. $S=\left( 4;+\infty \right)$.
D. $S=\left( 3;+\infty \right)$.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng qua điểm $A\left( -1\,;1\,;-2 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;-2\,;3 \right)$ là
A. $x-2y+3z-9=0$.
B. $-x+y-2z+9=0$.
C. $-x+y-2z-9=0$.
D. $x-2y+3z+9=0$.
Câu 12: Cho Trong không gian, cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\overrightarrow{C{A}'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}'}$.
B. $\overrightarrow{A{C}'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}$.
C. $\overrightarrow{B{D}'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}'}$.
D. $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$.
Câu 1: Thành phố $X$ theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực $A$ và $B$ trong thời gian $6$ năm (kể từ đầu năm $2019$ đến hết năm $2024$). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong $6$ năm, với đơn vị trên trục $Ot$ tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm $2019$. Đơn vị trên trục $Oy$ biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực $A$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_{A}^{/}(t)=-\frac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+8$
Khu vực $B$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_{B}^{/}(t)=a-\frac{1}{2}t$
Biết rằng ${{P}_{A}}(t),{{P}_{B}}(t)$ lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực $A$ và $B$ sau $t$ năm.
a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực $A$ với $t=4$ là $8000$ (người trên năm).
b) Ta có $P_{B}^{/}(0)=8$và $a=8$.
c) Dân số của khu vực $A$ tăng thêm từ $0$ đến $5$ năm là $33\,000$ (người).
d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ $0$ đến $5$ năm là $9\,000$ người.
Câu 2: Cho hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-3x+6}{x-1}$.
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $M\left( 0\,;\,-5 \right)$.
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y=x-2$.
c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
d) Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ là hình vẽ bên
Câu 3. Chiều cao (cm) của các em học sinh lớp $\text{12A1}$được thống kê theo bảng tần số ghép nhóm như sau:
a) Lớp có ít nhất $11$ học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.
b) Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là $164\,\,\,\left( cm \right)$.
c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là $50.$
d) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được “5 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)” là $\frac{11}{38}$.
Câu 4: Một nhà kho gồm nền nhà $OABC,$ bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét).
a) Điểm $K(2;10;4)$ là trung điểm của $EF$.
b) Tọa độ của điểm $A\left( 5;0;0 \right)$.
c) Trên đường thẳng vuông góc với nền nhà tại điểm $K$, người ta treo một bóng đèn ở vị trí $H$ cách vị trí $K$ một đoạn bằng $0,5m$. Khi đó khoảng cách từ bóng đèn $H$ đến nền nhà là $4m$.
d) Điểm $I(0;2;1)$ là vị trí bật công tắc của bóng đèn. Độ dài ngắn nhất của đường dây điện bắt từ $I$ tới $H$ là $a$ (mét). Khi đó $a$ lớn hơn $9,5$ (biết đường dây điện thuộc mặt phẳng $\left( OMQC \right)$ và $\left( MEFQ \right)$.
Câu 1: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thướt 28m x 16m, trong đó hai Parabol $\left( {{P}_{1}} \right)$ đối xứng với $\left( {{P}_{2}} \right)$qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$với $O$ là tâm đáy, $AB=16\,cm$, góc nhị diện $\left[ S,CD,O \right]=\alpha $ với $\tan \alpha =\frac{5}{4}$. Thể tích khối chóp là $k\,\left( c{{m}^{3}} \right)$, hãy tính $3k$.
Câu 3: Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A\left( 5;\,0;\,0 \right)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $km$), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $B$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng ${{d}_{1}}:\,\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=0 \\ \end{align} \right.$. Tàu chở hàng $C$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng ${{d}_{2}}:\,\left\{ \begin{align} & x=2-s \\ & y=11+s \\ & z=0 \\ \end{align} \right.$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $B$ và $C$ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $A$ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $B$ trước, sau đó đến tàu chở hàng $C$. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ dừng lại và tàu chở hàng $C$ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $T=AB+BC+CA$ là nhỏ nhất. Khi đó ${{P}_{\min }}=\sqrt{a}\,\,\,\left( km \right)$, hãy tính $a+2025$?
Câu 4: Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ $0$ đến $9$ và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Câu 5: Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí $A$ và $B$ cách nhau $4km$. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí $C$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, cách trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ một khoảng $4km$. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước $C$ đến một vị trí $I$ nằm giữa đoạn thẳng $MC$ sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy $A$ và $B$ (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu $km$? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 6: Vào ngày 01 / 02 / 2023, ông An vay ngân hàng ${200}$ triệu đồng với lãi suất $8%$/năm. Ông dùng toàn bộ số tiền vay mua cổ phiếu mã SP với giá ${50}$ nghìn đồng /$1$ cổ phiếu. Đúng sau một năm, để trả nợ ngân hàng ông An bán toàn bộ cổ phiếu đó với giá mỗi cổ phiếu là ${55,6}$ nghìn đồng. Số tiền còn lại của ông An sau khi đã trả nợ cho ngân hàng là bao nhiêu triệu đồng?
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Ở mỗi câu thí sinh chọn đúng một phương án.Câu 1: Cho cấp số nhân $\left( {{U}_{n}} \right)$với ${{u}_{1}}=2$ và công bội $q=3$. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân ?
A.48.
B. 54.
C. 24.
D. 162.
Số hạng thứ 4 của cấp số nhân ${{u}_{4}}={{u}_{1.}}{{q}^{3}}={{2.3}^{3}}=54$
A. $x=2,y=1$.
B. $x=1,y=2$.
C. $x=1,y=1$.
D. $x=-1,y=1$.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng $x=1$và tiệm cận ngang $y=1$.
A. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -1;\,2;\,1 \right)$.
B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;\,2;\,3 \right)$.
C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 2;\,1;\,3 \right)$.
D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=\left( 2;\,1;\,1 \right)$.
Ta có một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$là: $\overrightarrow{u}=\left( -1;\,2;1 \right)$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $3$.
Ta có:
$\begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]{\rm{d}}x} = 3\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x - \int\limits_{ - 1}^1 {x\,{\rm{d}}x\, = 3} } \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 + \int\limits_{ - 1}^1 {x\,{\rm{d}}x} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3. \end{array}$
$\begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]{\rm{d}}x} = 3\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x - \int\limits_{ - 1}^1 {x\,{\rm{d}}x\, = 3} } \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 + \int\limits_{ - 1}^1 {x\,{\rm{d}}x} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3. \end{array}$
A. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{1}}-{{Q}_{2}}$.
B. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}$.
C. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{2}}-{{Q}_{1}}$.
D. ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{1}}-{{Q}_{3}}$.
Ta có khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức: ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}$
A. $\int{f\left( x \right)}\,dx=\sin x+2+C$. B.$\int{f\left( x \right)}\,dx=\cos x+2x+C$.
C. $\int{f\left( x \right)}\,dx=-\sin x+2x+C$.
D. $\int{f\left( x \right)}\,dx=\sin x+2x+C$.
Ta có:
$\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {\cos x + 2} \right)} \,dx\\ = \sin x + 2x + C \end{array}$
$\begin{array}{l} \int {f\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {\cos x + 2} \right)} \,dx\\ = \sin x + 2x + C \end{array}$
A. $SC$.
B. $BD$.
C. $SB$.
D. $SD$.
$\left. \begin{align} & SA\bot \left( ABCD \right) \\ & BD\subset \left( ABCD \right) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SA\bot BD$
A. $x=3$.
B. $x=4$.
C. $x=2$.
D. $x=1$.
${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=1\Leftrightarrow x-1=2\Leftrightarrow x=3$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là
A. $-4$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $0$.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ là $-4$.
A. $S=\left( 3;81 \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;4 \right)$.
C. $S=\left( 4;+\infty \right)$.
D. $S=\left( 3;+\infty \right)$.
Ta có: ${{3}^{x}}<81\Leftrightarrow {{3}^{x}}<{{3}^{4}}\Leftrightarrow x<4$. Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;4 \right)$.
A. $x-2y+3z-9=0$.
B. $-x+y-2z+9=0$.
C. $-x+y-2z-9=0$.
D. $x-2y+3z+9=0$.
Phương trình mặt phẳng qua điểm $A\left( -1\,;1\,;-2 \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1\,;-2\,;3 \right)$ là
$\begin{array}{l} 1.\left( {x + 1} \right) - \,2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0\,\\ \Leftrightarrow \,x - 2y + 3z + 9 = 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} 1.\left( {x + 1} \right) - \,2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0\,\\ \Leftrightarrow \,x - 2y + 3z + 9 = 0 \end{array}$
A. $\overrightarrow{C{A}'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}'}$.
B. $\overrightarrow{A{C}'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}$.
C. $\overrightarrow{B{D}'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}'}$.
D. $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$.
Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{C{A}'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}'}$ và $\overrightarrow{A{C}'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}'}$ nên các mệnh đề ở phương án A và B là các mệnh đề đúng.
Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{B{D}'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}'}$ nên mệnh đề C sai.
•Theo quy tắc hình ta có: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ nên mệnh đề B đúng.
Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{B{D}'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}'}$ nên mệnh đề C sai.
•Theo quy tắc hình ta có: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ nên mệnh đề B đúng.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.Câu 1: Thành phố $X$ theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực $A$ và $B$ trong thời gian $6$ năm (kể từ đầu năm $2019$ đến hết năm $2024$). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong $6$ năm, với đơn vị trên trục $Ot$ tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm $2019$. Đơn vị trên trục $Oy$ biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực $A$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_{A}^{/}(t)=-\frac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+8$
Khu vực $B$ có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_{B}^{/}(t)=a-\frac{1}{2}t$
Biết rằng ${{P}_{A}}(t),{{P}_{B}}(t)$ lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực $A$ và $B$ sau $t$ năm.
a) Tốc độ gia tăng dân số của khu vực $A$ với $t=4$ là $8000$ (người trên năm).
b) Ta có $P_{B}^{/}(0)=8$và $a=8$.
c) Dân số của khu vực $A$ tăng thêm từ $0$ đến $5$ năm là $33\,000$ (người).
d) Phần diện tích tô đậm trong hình vẽ biểu diễn sự chênh lệch dân số tăng thêm giữa hai khu vực trong giai đoạn từ $0$ đến $5$ năm là $9\,000$ người.
| 1 | Giải chi tiết( giải thích) |
| a) Đ | Ta có $P_{A}^{/}(4)=-\frac{1}{2}{{4}^{2}}+2.4+8=8$ (ngàn người trên năm) = $8000$ (người trên năm). |
| b) Đ | Ta có $P_{B}^{/}(0)=a-\frac{1}{2}.0=8\Rightarrow a=8$ |
| c) s | Dân số của khu vực $A$ tăng thêm từ $0$ đến $5$ năm là $\int\limits_{0}^{5}{P_{A}^{/}(t)dt}=\int\limits_{0}^{5}{\left( -\frac{1}{2}{{t}^{2}}+2t+8 \right)}dt=44,167$ (ngàn người) $=44\,\,167$ (người). |
| d) s | Diện tích tô đậm trong hình vẽ bằng: $\int\limits_0^5 {\left| { - \frac{1}{2}{t^2} + 2t + 8 - 8 + \frac{1}{2}t} \right|dt} $ $ = \int\limits_0^5 {\left| { - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{5}{2}t} \right|dt} $ $ = 10,417$ (ngàn người) $=10\,\,417$ (người). |
a) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $M\left( 0\,;\,-5 \right)$.
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y=x-2$.
c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
d) Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ là hình vẽ bên
| 2 | Giải chi tiết (giải thích) |
| a) s | Gọi $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung. Ta có ${{x}_{M}}=0$ (do $M$ thuộc trục tung), đồng thời $M$ thuộc đồ thị hàm số đã cho nên suy ra ${{y}_{M}}=f\left( 0 \right)=\frac{6}{-1}=-6$. Vậy giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là $M\left( 0\,;\,-6 \right)$.. |
| b) Đ | Ta có $\begin{align} & \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+6}{x\left( x-1 \right)} \\ & =\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{6}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{1}{x}}=1 \\ \end{align}$ $\begin{align} & \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)-x \right] \\ & =\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{{{x}^{2}}-3x+6}{x-1}-x \right] \\ & =\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x+6}{x-1} \\ & =\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{6}{x}}{1-\frac{1}{x}}=-2 \\ \end{align}$ Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng có phương trình $y=x-2$. |
| c) Đ | Điều kiện có nghĩa của hàm số đã cho là $x-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 1$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. |
| d) Đ | Ta có ${y}'=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$, ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\, \\ & \,x=3 \\ \end{align} \right.$. Bảng giá trị: 
|
| Nhóm | $\left[ 140;\,150 \right)$ | $\left[ 150;\,160 \right)$ | $\left[ 160;\,170 \right)$ | $\left[ 170;\,180 \right)$ | $\left[ 180;\,190 \right)$ |
| Tần số | 1 | 8 | 18 | 10 | 1 |
b) Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là $164\,\,\,\left( cm \right)$.
c) Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là $50.$
d) Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh của lớp tham gia đội tình nguyện. Xác suất để chọn được “5 học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng 170 (cm)” là $\frac{11}{38}$.
- Nhóm $\left[ 140;\,150 \right)$có giá trị đại diện là $145$
- Nhóm $\left[ 150;\,160 \right)$ có giá trị đại diện là $155$
- Nhóm $\left[ 160;\,170 \right)$có giá trị đại diện là $165$
- Nhóm $\left[ 170;\,180 \right)$có giá trị đại diện là $175$
- Nhóm $\left[ 180;\,190 \right)$có giá trị đại diện là $185$.
Khi đó giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38}\approx 165,5$
- Nhóm $\left[ 150;\,160 \right)$ có giá trị đại diện là $155$
- Nhóm $\left[ 160;\,170 \right)$có giá trị đại diện là $165$
- Nhóm $\left[ 170;\,180 \right)$có giá trị đại diện là $175$
- Nhóm $\left[ 180;\,190 \right)$có giá trị đại diện là $185$.
Khi đó giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38}\approx 165,5$
| 1 | Giải chi tiết( giải thích) |
| a) Đ | Do $\overline{x}=\frac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38}\approx 165,5$thuộc nhóm $3$nên có ít nhất $10+1=11$ học sinh có chiều cao lớn hơn chiều cao trung bình của lớp.. |
| b) s | Chiều cao trung bình của lớp 12A1 là$\overline{x}=\frac{145+155.8+165.18+175.10+185}{38}\approx 165,5$ |
| c) Đ | Khoảng biến thiên mẫu số liệu trên là $190-140=50$ |
| d) s | Số học sinh có chiều cao lớn hơn hoặc bằng $170\,\,\,\left( cm \right)$ là $11$ học sinh. Do đó chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh trong lớp có chiều cao lớn hơn hoặc bằng $170\,\,\,\left( cm \right)$ có $C_{11}^{5}$cách. Số phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega \right)=C_{38}^{5}$. Vậy xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right)=\frac{C_{11}^{5}}{C_{38}^{5}}=\frac{11}{11951}$ |
a) Điểm $K(2;10;4)$ là trung điểm của $EF$.
b) Tọa độ của điểm $A\left( 5;0;0 \right)$.
c) Trên đường thẳng vuông góc với nền nhà tại điểm $K$, người ta treo một bóng đèn ở vị trí $H$ cách vị trí $K$ một đoạn bằng $0,5m$. Khi đó khoảng cách từ bóng đèn $H$ đến nền nhà là $4m$.
d) Điểm $I(0;2;1)$ là vị trí bật công tắc của bóng đèn. Độ dài ngắn nhất của đường dây điện bắt từ $I$ tới $H$ là $a$ (mét). Khi đó $a$ lớn hơn $9,5$ (biết đường dây điện thuộc mặt phẳng $\left( OMQC \right)$ và $\left( MEFQ \right)$.
| 4 | Giải chi tiết( giải thích) |
| a) Đ | Ta có: $E(2;0;4)\,;\,F(2;20;4)\,$. Mà $K$là trung điểm của $EF$ nên $K(2;10;4)$. |
| b) S | $A\left( 4;0;0 \right)$ |
| c) S | Khoảng cách từ $K$ đến nền nhà là $4m$, mà $KH=0,5\,m$ nên khoảng cách từ $H$ đến nền nhà là $3,5\,m$. |
| d) Đ | Cách 1: Trải phẳng hai mặt phẳng $\left( OMQC \right)$ và $\left( MEFQ \right)$như hình vẽ Khi đó $I,D,K$thảng hàng 
|
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ( Tự luận).
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Ở mỗi câu thí sinh điền đáp án của câu đó.Câu 1: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thướt 28m x 16m, trong đó hai Parabol $\left( {{P}_{1}} \right)$ đối xứng với $\left( {{P}_{2}} \right)$qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Đáp án: 74.4
Đặt hình chữ nhật vào hệ tọa độ Oxy sao cho tâm hình chữ nhật trùng với góc tọa độ, chiều dài của hình chữ nhật vuông góc với trục Ox.
Theo đề bài ta có Parabol $\left( {{P}_{1}} \right)$ đi qua các điểm $A\left( 0;-2 \right),\,B\left( -8;14 \right),\,C\left( 8;14 \right)$
Từ đây ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} c = - 2\\ 64a - 8b = 16\\ 64a + 8b = 16 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = - 2\\ b = 0\\ a = \frac{1}{4} \end{array} \right.$
Suy ra $\left( {{P}_{1}} \right):\,y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}-2$
Suy ra $\left( {{P}_{2}} \right):\,y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+2$
Gọi ${{S}_{1}},\,{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích phần hoa văn và diện tích phần trắng
Ta có:
$\begin{align} & {{S}_{1}}=2\int\limits_{-8}^{-2\sqrt{2}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}-4 \right|dx}+\int\limits_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}-4 \right|dx} \\ & {{S}_{2}}=16.28-{{S}_{1}} \\ \end{align}$
Tổng chi phí trang trí là $180.000{{S}_{1}}+160.000{{S}_{2}}=$74.4 (triệu đồng)
Đặt hình chữ nhật vào hệ tọa độ Oxy sao cho tâm hình chữ nhật trùng với góc tọa độ, chiều dài của hình chữ nhật vuông góc với trục Ox.
Theo đề bài ta có Parabol $\left( {{P}_{1}} \right)$ đi qua các điểm $A\left( 0;-2 \right),\,B\left( -8;14 \right),\,C\left( 8;14 \right)$
Từ đây ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} c = - 2\\ 64a - 8b = 16\\ 64a + 8b = 16 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = - 2\\ b = 0\\ a = \frac{1}{4} \end{array} \right.$
Suy ra $\left( {{P}_{1}} \right):\,y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}-2$
Suy ra $\left( {{P}_{2}} \right):\,y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+2$
Gọi ${{S}_{1}},\,{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích phần hoa văn và diện tích phần trắng
Ta có:
$\begin{align} & {{S}_{1}}=2\int\limits_{-8}^{-2\sqrt{2}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}-4 \right|dx}+\int\limits_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}{\left| \frac{1}{2}{{x}^{2}}-4 \right|dx} \\ & {{S}_{2}}=16.28-{{S}_{1}} \\ \end{align}$
Tổng chi phí trang trí là $180.000{{S}_{1}}+160.000{{S}_{2}}=$74.4 (triệu đồng)
Đáp số
Gọi $M$là trung điểm của $CD$ ta có $OM\bot CD;\,\,SM\bot CD$ nên $\left[ S,CD,O \right]=\alpha =\widehat{SMO}$ ; $\tan \alpha =\frac{SO}{OM}=\frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow SO = \frac{5}{4}OM = \frac{5}{4}.\frac{{AB}}{2} = 10$. Vậy thể tích của khối chóp là $k\,$ nên ta có $3k=3.\frac{1}{3}{{.16}^{2}}.10=2560\,\,\left( c{{m}^{3}} \right)$.
Gọi $M$là trung điểm của $CD$ ta có $OM\bot CD;\,\,SM\bot CD$ nên $\left[ S,CD,O \right]=\alpha =\widehat{SMO}$ ; $\tan \alpha =\frac{SO}{OM}=\frac{5}{4}$ $ \Leftrightarrow SO = \frac{5}{4}OM = \frac{5}{4}.\frac{{AB}}{2} = 10$. Vậy thể tích của khối chóp là $k\,$ nên ta có $3k=3.\frac{1}{3}{{.16}^{2}}.10=2560\,\,\left( c{{m}^{3}} \right)$.
Chúng ta cần tìm vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ (tương ứng với điểm $B$) và tàu chở hàng $C$ (tương
ứng với điểm $C$) sao cho tổng quãng đường cứu hộ $T=AB+BC+CA$là nhỏ nhất.
Trong không gian $Oxyz$, ta có:
+ Hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,z=0$ và $A\in \left( \alpha \right)$.
+ ${{d}_{1}}$ có một véc tơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1;\,-2;\,0 \right)$; ${{d}_{2}}$ có một véc tơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( -1;\,1;\,0 \right)$.
Do $\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},\,{{{\vec{u}}}_{2}} \right]\ne \vec{0}$ nên ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$.
+ Gọi ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
+ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với ${{d}_{1}}$ $\Rightarrow \,\,\left( P \right):x-2y-5=0$.
+ Gọi $I=\left( P \right)\cap {{d}_{1}}$, thì tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ ${{d}_{1}}:\,\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=0 \\ & x-2y-5=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow I\left( 3;\,-1;\,0 \right)$$\Rightarrow {{A}_{1}}\left( 1;\,-2;\,0 \right)$.
+ Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với ${{d}_{2}}$$\Rightarrow \,\left( Q \right):-x+y+5=0$.
+ Gọi $J=\left( Q \right)\cap {{d}_{2}}$, thì tọa độ của $J$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{align} & x=2-s \\ & y=11+s \\ & z=0 \\ & -x+y+5=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow J\left( 9;\,4;\,0 \right)$$\Rightarrow {{A}_{2}}\left( 13;\,8;\,0 \right)$.
+ Khi đó $T=AB+BC+CA={{A}_{1}}B+BC+C{{A}_{2}}\ge {{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow \,T$ đạt GTNN khi $T={{A}_{1}}{{A}_{2}}$$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{A}_{1}}{{A}_{2}}=\sqrt{244}\,\,\,\left( km \right)$. Vậy $a+2025=2269$
Dấu bằng xẩy ra khi $B,\,C,\,{{A}_{1}},\,{{A}_{2}}$ thẳng hàng.
ứng với điểm $C$) sao cho tổng quãng đường cứu hộ $T=AB+BC+CA$là nhỏ nhất.
Trong không gian $Oxyz$, ta có:
+ Hai đường thẳng ${{d}_{1}},\,{{d}_{2}}$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,z=0$ và $A\in \left( \alpha \right)$.
+ ${{d}_{1}}$ có một véc tơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}}=\left( 1;\,-2;\,0 \right)$; ${{d}_{2}}$ có một véc tơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{2}}=\left( -1;\,1;\,0 \right)$.
Do $\left[ {{{\vec{u}}}_{1}},\,{{{\vec{u}}}_{2}} \right]\ne \vec{0}$ nên ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$.
+ Gọi ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}}$ lần lượt là điểm đối xứng của $A$ qua ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.
+ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với ${{d}_{1}}$ $\Rightarrow \,\,\left( P \right):x-2y-5=0$.
+ Gọi $I=\left( P \right)\cap {{d}_{1}}$, thì tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ ${{d}_{1}}:\,\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-2t \\ & z=0 \\ & x-2y-5=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow I\left( 3;\,-1;\,0 \right)$$\Rightarrow {{A}_{1}}\left( 1;\,-2;\,0 \right)$.
+ Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với ${{d}_{2}}$$\Rightarrow \,\left( Q \right):-x+y+5=0$.
+ Gọi $J=\left( Q \right)\cap {{d}_{2}}$, thì tọa độ của $J$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{align} & x=2-s \\ & y=11+s \\ & z=0 \\ & -x+y+5=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow J\left( 9;\,4;\,0 \right)$$\Rightarrow {{A}_{2}}\left( 13;\,8;\,0 \right)$.
+ Khi đó $T=AB+BC+CA={{A}_{1}}B+BC+C{{A}_{2}}\ge {{A}_{1}}{{A}_{2}}$
$\Rightarrow \,T$ đạt GTNN khi $T={{A}_{1}}{{A}_{2}}$$\Rightarrow {{P}_{\min }}={{A}_{1}}{{A}_{2}}=\sqrt{244}\,\,\,\left( km \right)$. Vậy $a+2025=2269$
Dấu bằng xẩy ra khi $B,\,C,\,{{A}_{1}},\,{{A}_{2}}$ thẳng hàng.
Trả lời: 32
Gọi A: “Ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần”
$\overline{A}:$ “Cả hai người gọi thử cả 2 lần đều không đúng”
Xác xuất gọi sai cả hai lần của mỗi người là $\frac{9}{10}.\frac{8}{9}=\frac{4}{5}$.
Hai người gọi điện là độc lập nên $P\left( \overline{A} \right)=\frac{4}{5}.\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$.
Vậy $P\left( A \right)=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=0,36$
Gọi A: “Ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần”
$\overline{A}:$ “Cả hai người gọi thử cả 2 lần đều không đúng”
Xác xuất gọi sai cả hai lần của mỗi người là $\frac{9}{10}.\frac{8}{9}=\frac{4}{5}$.
Hai người gọi điện là độc lập nên $P\left( \overline{A} \right)=\frac{4}{5}.\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$.
Vậy $P\left( A \right)=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=0,36$
Đáp án: 7,46
Phần giải chi tiết:
Đặt độ dài $IM=x\,\,\left( km,\,0\le x\le 4 \right)$, suy ra $IC=4-x$.
Ta có: $IA=IB=\sqrt{{{x}^{2}}+4}$.
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là: $IC+IA+IB=4-x+2\sqrt{{{x}^{2}}+4}$
Xét hàm số: $y=f\left( x \right)=4-x+2\sqrt{{{x}^{2}}+4}$ với $0\le x\le 4$, ta cần tìm $\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.
Ta có: ${y}'=-1+2.\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=\frac{2x-\sqrt{{{x}^{2}}+4}}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$
${y}'=0\Leftrightarrow 2x-\sqrt{{{x}^{2}}+4}=0\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=8;\,\,f\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)=4+2\sqrt{3};\,\,f\left( 4 \right)=4\sqrt{5}$. Do đó, $\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=4\sqrt{3}+2\approx 7,46$$\left( km \right)$.
Phần giải chi tiết:
Đặt độ dài $IM=x\,\,\left( km,\,0\le x\le 4 \right)$, suy ra $IC=4-x$.
Ta có: $IA=IB=\sqrt{{{x}^{2}}+4}$.
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là: $IC+IA+IB=4-x+2\sqrt{{{x}^{2}}+4}$
Xét hàm số: $y=f\left( x \right)=4-x+2\sqrt{{{x}^{2}}+4}$ với $0\le x\le 4$, ta cần tìm $\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$.
Ta có: ${y}'=-1+2.\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}=\frac{2x-\sqrt{{{x}^{2}}+4}}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$
${y}'=0\Leftrightarrow 2x-\sqrt{{{x}^{2}}+4}=0\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=8;\,\,f\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)=4+2\sqrt{3};\,\,f\left( 4 \right)=4\sqrt{5}$. Do đó, $\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=4\sqrt{3}+2\approx 7,46$$\left( km \right)$.
Đáp số: ${6,4}$.
Số tiền cả vốn và lãi ông An phải trả cho ngân hàng sau ${1}$ năm là $200\cdot \left( 1+8% \right)=216$ (triệu đồng).
Số cổ phiếu ông An mua là $200000000:50000=4000$ (cổ phiếu)
Số tiền ông An bán cổ phiếu là $4000\times 55600=222400000$ (đồng) $=222,4$ (triệu đồng).
Số tiền còn lại của ông An là $222,4-216=6,4$ (triệu đồng).
Số tiền cả vốn và lãi ông An phải trả cho ngân hàng sau ${1}$ năm là $200\cdot \left( 1+8% \right)=216$ (triệu đồng).
Số cổ phiếu ông An mua là $200000000:50000=4000$ (cổ phiếu)
Số tiền ông An bán cổ phiếu là $4000\times 55600=222400000$ (đồng) $=222,4$ (triệu đồng).
Số tiền còn lại của ông An là $222,4-216=6,4$ (triệu đồng).
