Trong chương trình Toán trung học phổ thông, bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau.Tuy nhiên, với nhiều học sinh, việc tìm được nguyên hàm của một hàm số lại không phải là vấn đề đơn giản. Chính vì lẽ đó, ở đây tôi xin đưa ra bài cơ bản đầu tiên về nguyên hàm.
A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa
VÍ DỤ 1. Cho $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = {x^3}\\f\left( x \right) = 3{x^2}\end{array} \right.$
VÍ DỤ 2. Cho $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \cos x\\f\left( x \right) = - \sin x\end{array} \right.$
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F’(x) = f(x). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C, ( C là hằng số) là Họ nguyên hàm của f(x).
Ký hiệu: $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} $
VÍ DỤ:
$\begin{array}{l}
\int {{x^4}dx = \frac{1}{5}{x^5} + C;\,} \\
\int {\cos xdx = \sin x + C}
\end{array}$
2. Tính chất
• $(\int {f\left( x \right)dx} )' = f\left( x \right)$
• $\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} }$ , k là hằng số
• $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } $
• $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } $
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn [a; b]
B. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1. $\int {dx = x + C} $
$\int {du = u + C} $
2. $\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C} $
$\int {{u^\alpha }du = \frac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C} $
3. $\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)$
$\int {\frac{{du}}{u} = \ln \left| u \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)$
4. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
$\int {{e^u}dx = {e^u} + C} $
5. $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)} $
$\int {{a^u}du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)} $
6. $\int {\cos xdx = \sin x + C} $
$\int {\cos udu = \sin u + C} $
7. $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $
$\int {\sin udu = - \cos u + C} $
8. $\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C} $
$\int {\frac{{du}}{{{{\cos }^2}u}} = \tan u + C} $
9. $\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} $
$\int {\frac{{du}}{{{{\sin }^2}u}} = - \cot u + C} $
C. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG
1. $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C$.
Đặc biệt $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {1^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left| {\sqrt {{x^2} + {a^2}} + x} \right| + C$
3. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}} = \ln \left| {\sqrt {{x^2} - {a^2}} + x} \right| + C$
4. $\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C$
5. $\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C$
6. $\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} + {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + {a^2}} \right| + C$
7. $\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - {a^2}} \right| + C$
8. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} + C$
9. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} + C$
10. $\int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} + \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right| + C$
11. $\int {\sqrt {{x^2} - {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {a^2}} - \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right| + C$
A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa
VÍ DỤ 1. Cho $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = {x^3}\\f\left( x \right) = 3{x^2}\end{array} \right.$
VÍ DỤ 2. Cho $\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \cos x\\f\left( x \right) = - \sin x\end{array} \right.$
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F’(x) = f(x). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C, ( C là hằng số) là Họ nguyên hàm của f(x).
Ký hiệu: $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} $
VÍ DỤ:
$\begin{array}{l}
\int {{x^4}dx = \frac{1}{5}{x^5} + C;\,} \\
\int {\cos xdx = \sin x + C}
\end{array}$
2. Tính chất
• $(\int {f\left( x \right)dx} )' = f\left( x \right)$
• $\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} }$ , k là hằng số
• $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } $
• $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} } } $
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn [a; b]
B. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
1. $\int {dx = x + C} $
$\int {du = u + C} $
2. $\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C} $
$\int {{u^\alpha }du = \frac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C} $
3. $\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)$
$\int {\frac{{du}}{u} = \ln \left| u \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)$
4. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
$\int {{e^u}dx = {e^u} + C} $
5. $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)} $
$\int {{a^u}du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)} $
6. $\int {\cos xdx = \sin x + C} $
$\int {\cos udu = \sin u + C} $
7. $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $
$\int {\sin udu = - \cos u + C} $
8. $\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C} $
$\int {\frac{{du}}{{{{\cos }^2}u}} = \tan u + C} $
9. $\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = - \cot x + C} $
$\int {\frac{{du}}{{{{\sin }^2}u}} = - \cot u + C} $
C. MỘT SỐ NGUYÊN HÀM HAY DÙNG
1. $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C$.
Đặc biệt $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {1^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left| {\sqrt {{x^2} + {a^2}} + x} \right| + C$
3. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}} = \ln \left| {\sqrt {{x^2} - {a^2}} + x} \right| + C$
4. $\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C$
5. $\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C$
6. $\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} + {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + {a^2}} \right| + C$
7. $\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} - {a^2}} \right| + C$
8. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} + {a^2}} + C$
9. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} + C$
10. $\int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} + \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right| + C$
11. $\int {\sqrt {{x^2} - {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} - {a^2}} - \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right| + C$
