Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Ta xét 2 trường hợp sau:
1. Trường hợp 1: $Δ$ và $Δ’$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và vuông góc với $Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Trong mặt phẳng $(α)$ kẻ $IJ \bot \Delta’$.
Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = IJ$.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $a$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’$ bằng bao nhiêu?
Ta có $A’B’ \bot \left( {ADD’A’} \right).$
Gọi $H$ là giao điểm của $AD’$ với $A’D$. Vì $ADD’A’$ là hình vuông nên $A’H \bot AD’.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
A’H \bot AD’\\
A’H \bot A’B’
\end{array} \right.$, suy ra $A’H$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’.$
$d\left( {A’B’;AD’} \right) = A’H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
2. Trường hợp 2: $Δ$ và $Δ’$ chéo nhau mà KHÔNG vuông góc với nhau
Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$ theo một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và song song với $Δ.$
+ Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Δ$ xuống $(α)$ bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và và song song với $Δ.$
+ Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta’$, dựng $HK\parallel MN$.
Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = HK = MN$.
Cách 2:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α) ⊥ Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Δ’$ xuống mặt phẳng $(α).$
+ Bước 3: Trong mặt phẳng $(α)$, dựng $IJ \bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Δ$ cắt $Δ’$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM\parallel IJ$.
Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HM = IJ$.
Ví dụ 5: Cho hình chóp $SABC$ có $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$
1. Hãy dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
1. Để dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC$ ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, suy ra: $BC//MN \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
MN \bot AB\\
MN \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAB} \right).$
$\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SN.$
Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right).$
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$. Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
Cách 2: Nhận xét rằng: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$
Do đó $(SAB)$ chính là mặt phẳng qua $B$ thuộc $BC$ và vuông góc với $BC.$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra: $MN//BC \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$.
Suy ra $MN$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên $(SAB).$
Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right)$.
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F.$
Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Nhận xét rằng tam giác $SAN$ và tam giác $BHN$ là $2$ tam giác vuông có $2$ góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra:
$\frac{{BH}}{{SA}} = \frac{{BN}}{{SN}} \Rightarrow BH = \frac{{SA.BN}}{{SN}}.$
Trong đó: $BN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.$
$S{N^2} = S{A^2} + A{N^2}$ $ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}$ $ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}.$
Suy ra: $BH = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}.$
Vậy khoảng cách giữa $SM$ và $BC$ bằng $\frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}$.
1. Trường hợp 1: $Δ$ và $Δ’$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và vuông góc với $Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Trong mặt phẳng $(α)$ kẻ $IJ \bot \Delta’$.
Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = IJ$.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $a$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’$ bằng bao nhiêu?
Ta có $A’B’ \bot \left( {ADD’A’} \right).$
Gọi $H$ là giao điểm của $AD’$ với $A’D$. Vì $ADD’A’$ là hình vuông nên $A’H \bot AD’.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
A’H \bot AD’\\
A’H \bot A’B’
\end{array} \right.$, suy ra $A’H$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’.$
$d\left( {A’B’;AD’} \right) = A’H = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
2. Trường hợp 2: $Δ$ và $Δ’$ chéo nhau mà KHÔNG vuông góc với nhau
Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$ theo một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và song song với $Δ.$
+ Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Δ$ xuống $(α)$ bằng cách lấy điểm $M \in \Delta $ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và và song song với $Δ.$
+ Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta’$, dựng $HK\parallel MN$.
Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta’) = HK = MN$.
Cách 2:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α) ⊥ Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Δ’$ xuống mặt phẳng $(α).$
+ Bước 3: Trong mặt phẳng $(α)$, dựng $IJ \bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Δ$ cắt $Δ’$ tại $H$, từ $H$ dựng $HM\parallel IJ$.
Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(\Delta ,\Delta ‘) = HM = IJ$.
Ví dụ 5: Cho hình chóp $SABC$ có $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$
1. Hãy dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
1. Để dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC$ ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, suy ra: $BC//MN \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right).$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
MN \bot AB\\
MN \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAB} \right).$
$\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SN.$
Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right).$
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$. Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
Cách 2: Nhận xét rằng: $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right).$
Do đó $(SAB)$ chính là mặt phẳng qua $B$ thuộc $BC$ và vuông góc với $BC.$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra: $MN//BC \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)$.
Suy ra $MN$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên $(SAB).$
Hạ $BH \bot SN \Rightarrow BH \bot \left( {SMN} \right)$.
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F.$
Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Nhận xét rằng tam giác $SAN$ và tam giác $BHN$ là $2$ tam giác vuông có $2$ góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra:
$\frac{{BH}}{{SA}} = \frac{{BN}}{{SN}} \Rightarrow BH = \frac{{SA.BN}}{{SN}}.$
Trong đó: $BN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.$
$S{N^2} = S{A^2} + A{N^2}$ $ = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}$ $ \Rightarrow SN = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}.$
Suy ra: $BH = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}.$
Vậy khoảng cách giữa $SM$ và $BC$ bằng $\frac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}$.
