H
Huy Hoàng
Guest
MỞ ĐẦU
Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.
Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứng minh bài toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất.
Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tác giả thường đặt ra các câu hỏi:
- Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào?
- Dấu bằng xảy ra khi nào?
- Bất đẳng thức có đồng bậc không?
- Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức?
- Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức?
- …
Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán.
Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập). Lý thuyết bất đẳng thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày.
NỘI DUNG
1. Kỹ thuật thêm bớt
Sử dụng: $A = A + B - B = \frac{A}{B} \times B$ để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0, ta có:: $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$
Phân tích:
- BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc nhất
Hướng dẫn
$\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} \ge 2a$Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:
$\frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{{b^3}}}{{c + 2a}} + \frac{{{c^3}}}{{a + 2b}} \ge \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$
Phân tích:
- BĐT đồng bậc hai
- Vai trò a,b,c giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- Biểu thức thêm vào là bậc hai
Hướng dẫn
$\begin{array}{l}\frac{{{a^3}}}{{b + 2c}} + \frac{{a(b + 2c)}}{9} \ge \frac{2}{3}{a^2}\\ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array}$Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: $ (1 + {a^3})(1 + {b^3})(1 + {c^3}) \ge (1 + a{b^2})(1 + b{c^2})(1 + c{a^2})$
Phân tích: Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Hướng dẫn:
$(1 + {a^3})(1 + {b^3})(1 + {b^3}) \ge {\left( {1 + \sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}}} \right)^3} = {\left( {1 + a{b^2}} \right)^3}$Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) $\frac{{{a^5}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^2}}} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}$
2) $\frac{{{a^3}}}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{(c + a)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{{(a + b)}^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}$
3) $\frac{{{a^3}}}{{b(c + a)}} + \frac{{{b^3}}}{{c(a + b)}} + \frac{{{c^3}}}{{a(b + c)}} \ge \frac{{a + b + c}}{2}$
4) $\frac{{{a^4}}}{{b{c^2}}} + \frac{{{b^4}}}{{c{a^2}}} + \frac{{{c^4}}}{{a{b^2}}} \ge a + b + c$
5) $\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{3}$
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
6) $\frac{{{a^5}}}{{{b^4}}} + \frac{{{b^5}}}{{{c^4}}} + \frac{{{c^5}}}{{{a^4}}} \ge 1$
7) $\frac{{\sqrt a }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt b }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt c }}{{a + b}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
8) $\frac{1}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} \ge 6$
9) $\frac{1}{{2 + c{\rm{os2A}}}} + \frac{1}{{2 + c{\rm{os2B}}}} + \frac{1}{{2 - c{\rm{os2B}}}} \ge \frac{6}{5}$
10) $\frac{1}{{c{\rm{osAcosB}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osBcosC}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osCcosA}}}} + c{\rm{osA + cosB + cosC}} \ge \frac{{27}}{2}$
2. Kỹ thuật “san sẽ”
Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có: $\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + 4xy \ge 7$
Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x = y = 1/2
- Đại lượng “lớn”: 1/xy; Đại lượng “bé”: $\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}};4xy$
Hướng dẫn
$\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}} + 4xy = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} + \frac{1}{{4xy}} + 4xy + \frac{1}{{4xy}} \ge \frac{{{{(1 + 1)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} + 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} + \frac{1}{{{{(x + y)}^2}}} = 7$Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:
$\frac{1}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} + c{\rm{osA + cosB + cosC}} \ge \frac{{15}}{2}$
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600
- Đại lượng “lớn”: $\frac{1}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osC}}}}$; Đại lượng “bé”: cosA + cosB + cosC
Hướng dẫn
$\begin{array}{l}\frac{1}{{c{\rm{osA}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}} + \frac{1}{{c{\rm{osC}}}} + c{\rm{osA + cosB + cosC}} = \frac{1}{{c{\rm{osA}}}} + 4c{\rm{osA}} + \frac{1}{{c{\rm{osB}}}}{\rm{ + 4cosB}} + \frac{1}{{c{\rm{osC}}}} + 4{\rm{cosC}}\\{\rm{ - 3(}}c{\rm{osA}} + {\rm{cosB}} + {\rm{cosC)}} \ge 4 + 4 + 4 - \frac{9}{2} = \frac{{15}}{2}\end{array}$Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) $\frac{{2({a^3} + {b^3} + {c^3})}}{{abc}} + \frac{{9{{(a + b + c)}^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge 33$
2) $\sqrt {{a^4} + {b^4} + {c^4}} + \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \ge \sqrt {{a^3}b + {b^3}c + {c^3}a} + \sqrt {a{b^3} + b{c^3} + c{a^3}} $
3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: $P = \frac{3}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy;Q = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{xy}}$
3. Kỹ thuật nhóm đối xứng
Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau). Khi đó chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế kia. Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Các ví dụ:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có: $\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} + \frac{{ab}}{c} \ge a + b + c$
Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất
- Vai trò a,b,c
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Hướng dẫn
$\frac{{bc}}{a} + \frac{{ca}}{b} \ge 2\sqrt {\frac{{bc}}{a}.\frac{{ca}}{b}} = 2b$Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
$\sqrt {\sin A} + \sqrt {\sin B} + \sqrt {\sin C} \le \sqrt {c{\rm{os}}\frac{{\rm{A}}}{{\rm{2}}}} + \sqrt {c{\rm{os}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}} + \sqrt {c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}} $
Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau
- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600
Hướng dẫn
$\sqrt {\sin A} + \sqrt {\sin B} \le \sqrt {2(\sin A + \sin B)} \le \sqrt {4\sin \frac{{A + B}}{2}} = 2\sqrt {c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}} $Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
$\sin A\sin B\sin C \le \sin \frac{{A + 3B}}{4}\sin \frac{{B + 3C}}{4}\sin \frac{{C + 3A}}{4}$
Hướng dẫn
$\sin \frac{{A + 3B}}{4} \ge \frac{1}{2}\left( {\sin \frac{{A + B}}{2} + \sin B} \right) \ge \frac{1}{4}\sin A + \frac{3}{4}\sin B \ge \frac{1}{4}.4.\sqrt[4]{{\sin A{{\sin }^3}B}} = \sqrt[4]{{\sin A{{\sin }^3}B}}$ Bài tập: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) $\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}} \ge \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}$
2) $\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}$
Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
3) $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \le \sin A + \sin B + \sin C$
4) $\cos A\cos Bc{\rm{os}}C \le \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$
5) $\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}A}} \ge \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{A}{2}}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{B}{2}}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{C}{2}}}$
6) $\sqrt[n]{{\sin A}} + \sqrt[n]{{\sin B}} + \sqrt[n]{{\sin C}} \le \sqrt[n]{{c{\rm{os}}\frac{{\rm{A}}}{{\rm{2}}}}} + \sqrt[n]{{c{\rm{os}}\frac{{\rm{B}}}{{\rm{2}}}}} + \sqrt[n]{{c{\rm{os}}\frac{{\rm{C}}}{{\rm{2}}}}}$
