Dạng 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản
a$^M$ = a$^N$ M = N và ${a^X} = b \Rightarrow X = {\log _a}b;b > 0$
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : ${2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}$
$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\x = - 3\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0 hoặc x = - 3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 3x + 1}} = 3$
$ \Leftrightarrow - ({x^2} - 3x + 1) = 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1 hoặc x = 2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau : ${2^{x + 1}} + {2^{x - 2}} = 36$
$\Leftrightarrow \frac{{{{8.2}^x} + {2^x}}}{4} = 36 \Leftrightarrow {\rm{9}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{x}}} = 36.4 \Leftrightarrow {{\rm{2}}^{\rm{x}}} = 16 \Leftrightarrow {{\rm{2}}^{\rm{x}}} = {2^4} \Leftrightarrow x = 4$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1 hoặc x = 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: ${5^x}{.2^{2x - 1}} = 50$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = {\log _{20}}100$
Dạng 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : ${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0$
Đặt $t = {3^x} > 0$ (các em có thể đặt t = 3$^{x+4}$ )
Phương trình $ \Leftrightarrow 6561{t^2} - 972t + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{9}\\t = \frac{1}{{27}}\end{array} \right.$
Với $t = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2$
Với $t = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 3}} \Leftrightarrow x = - 3$
Vậy phương trình có nghiệm: x = - 2 hoặc x = - 3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : ${25^x} - {2.5^x} - 15 = 0$
Đặt $t = {5^x} > 0$
Phương trình (*) $ \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 3{\rm{ (loai)}}\end{array} \right.$
Với $t = 5 \Leftrightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : ${3^{x + 2}} - {3^{2 - x}} = 24$
Đặt $t = {3^x} > 0$
Pt (*) $ \Leftrightarrow {\rm{9}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} - 24t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3\\t = - \frac{1}{3}{\rm{ ( loai)}}\end{array} \right.$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Dạng 3: Lấy logarit hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ${8^x}{.5^{{x^2} - 1}} = \frac{1}{8}$
${8^x}{.5^{{x^2} - 1}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow {\log _8}({8^x}{.5^{{x^2} - 1}}) = {\log _8}(\frac{1}{8})$
$\Leftrightarrow {\log _8}{8^x} + {\log _8}{5^{{x^2} - 1}} = {\log _8}{8^{ - 1}} \Leftrightarrow x + \left( {{x^2} - 1} \right){\log _8}5 = - 1$
$\Leftrightarrow x + 1 + \left( {{x^2} - 1} \right){\log _8}5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right){\log _8}5 = 0$
$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {1 + \left( {x - 1} \right){{\log }_8}5} \right] = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\1 + \left( {x - 1} \right){\log _8}5 = 0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x.{\log _8}5 = {\log _8}5 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1 - {\log _5}8\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = - 1,x = 1 - {\log _5}8$
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$
GiảiLấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1$
$ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - {\log _2}3\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = 0,x = - {\log _2}3$
Dạng 4:Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = g(x$_0$) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : ${3^x} + {4^x} = {5^x}$
Giải${3^x} + {4^x} = {5^x} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} = 1$ (*)
Ta có là nghiệm của phương trình (*) vì ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1$
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}$
Ta có f(x) NB trên R vì $f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\,\forall x \in R$
Do đó
+ Với x > 2 thì f(x) < f(2) hay ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} < 1$, nên pt (*) không thể có nghiệm x > 2
+ Với x < 2 thì f(x) > f(2) hay ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1$, nên pt (*) không thể có nghiệm x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
Bài Tập Rèn Luyện
a$^M$ = a$^N$ M = N và ${a^X} = b \Rightarrow X = {\log _a}b;b > 0$
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : ${2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}$
Giải
${2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}$$ \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\x = - 3\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0 hoặc x = - 3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 3x + 1}} = 3$
Giải
${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 3x + 1}} = 3 \Leftrightarrow {3^{ - ({x^2} - 3x + 1)}} = {3^1}$$ \Leftrightarrow - ({x^2} - 3x + 1) = 1{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1 hoặc x = 2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau : ${2^{x + 1}} + {2^{x - 2}} = 36$
Giải
${2^{x + 1}} + {2^{x - 2}} = 36 \Leftrightarrow {2.2^x} + \frac{{{2^x}}}{4} = 36$$\Leftrightarrow \frac{{{{8.2}^x} + {2^x}}}{4} = 36 \Leftrightarrow {\rm{9}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{x}}} = 36.4 \Leftrightarrow {{\rm{2}}^{\rm{x}}} = 16 \Leftrightarrow {{\rm{2}}^{\rm{x}}} = {2^4} \Leftrightarrow x = 4$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1 hoặc x = 2
Ví dụ 4: Giải phương trình sau: ${5^x}{.2^{2x - 1}} = 50$
Giải
${5^x}{.2^{2x - 1}} = 50 \Leftrightarrow {5^x}.\frac{{{4^x}}}{2} = 50 \Leftrightarrow {20^x} = 100 \Leftrightarrow x = {\log _{20}}100$Vậy phương trình có nghiệm: $x = {\log _{20}}100$
Dạng 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau : ${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0$
Giải
${3^8}{.3^{2x}} - {4.3^5}{.3^x} + 27 = 0 \Leftrightarrow 6561.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {972.3^x} + 27 = 0$ (*)Đặt $t = {3^x} > 0$ (các em có thể đặt t = 3$^{x+4}$ )
Phương trình $ \Leftrightarrow 6561{t^2} - 972t + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{9}\\t = \frac{1}{{27}}\end{array} \right.$
Với $t = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2$
Với $t = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 3}} \Leftrightarrow x = - 3$
Vậy phương trình có nghiệm: x = - 2 hoặc x = - 3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau : ${25^x} - {2.5^x} - 15 = 0$
Giải
${25^x} - {2.5^x} - 15 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - {2.5^x} - 15 = 0$ (*)Đặt $t = {5^x} > 0$
Phương trình (*) $ \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 3{\rm{ (loai)}}\end{array} \right.$
Với $t = 5 \Leftrightarrow {5^x} = 5 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau : ${3^{x + 2}} - {3^{2 - x}} = 24$
Giải
${3^{x + 2}} - {3^{2 - x}} = 24 \Leftrightarrow {9.3^x} - \frac{9}{{{3^x}}} - 24 = 0 \Leftrightarrow 9.{\left( {{3^x}} \right)^2} - {24.3^x} - 9 = 0$ (*)Đặt $t = {3^x} > 0$
Pt (*) $ \Leftrightarrow {\rm{9}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} - 24t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 3\\t = - \frac{1}{3}{\rm{ ( loai)}}\end{array} \right.$
Với $t = 3 \Leftrightarrow {3^x} = 3 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1
Dạng 3: Lấy logarit hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ${8^x}{.5^{{x^2} - 1}} = \frac{1}{8}$
Giải
Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được${8^x}{.5^{{x^2} - 1}} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow {\log _8}({8^x}{.5^{{x^2} - 1}}) = {\log _8}(\frac{1}{8})$
$\Leftrightarrow {\log _8}{8^x} + {\log _8}{5^{{x^2} - 1}} = {\log _8}{8^{ - 1}} \Leftrightarrow x + \left( {{x^2} - 1} \right){\log _8}5 = - 1$
$\Leftrightarrow x + 1 + \left( {{x^2} - 1} \right){\log _8}5 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right){\log _8}5 = 0$
$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {1 + \left( {x - 1} \right){{\log }_8}5} \right] = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\1 + \left( {x - 1} \right){\log _8}5 = 0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x.{\log _8}5 = {\log _8}5 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1 - {\log _5}8\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = - 1,x = 1 - {\log _5}8$
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : ${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1$
Giải
${3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1$
$ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\1 + x{\log _3}2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - {\log _2}3\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm: $x = 0,x = - {\log _2}3$
Dạng 4:Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x$_0$ (a;b) sao cho f(x$_0$) = g(x$_0$) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau : ${3^x} + {4^x} = {5^x}$
Giải
Ta có là nghiệm của phương trình (*) vì ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = 1$
Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.
Thật vậy, xét $f(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}$
Ta có f(x) NB trên R vì $f'(x) = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x}\ln \frac{4}{5} < 0,\,\forall x \in R$
Do đó
+ Với x > 2 thì f(x) < f(2) hay ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} < 1$, nên pt (*) không thể có nghiệm x > 2
+ Với x < 2 thì f(x) > f(2) hay ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{4}{5}} \right)^x} > 1$, nên pt (*) không thể có nghiệm x < 2
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2
Bài Tập Rèn Luyện
- ${16^{\frac{{x + 10}}{{x - 10}}}} = 0,{125.8^{\frac{{x + 5}}{{x - 15}}}}$
- ${3^{2x + 8}} - {4.3^{x + 5}} + 27 = 0$
- ${6.9^x} - {13.6^x} + {6.4^x} = 0$
- ${(\sqrt {2 - \sqrt 3 } )^x} + {(\sqrt {2 + \sqrt 3 } )^x} = 4$
- ${2^{{x^2} - x}} - {2^{2 + x - {x^2}}} = 3$
- ${3.8^x} + {4.12^x} - {18^x} - {2.27^x} = 0$
- ${2.2^{2x}} - {9.14^x} + {7.7^{2x}} = 0$
- ${12.3^x} + {3.15^x} - {5^{x + 1}} = 20$
- ${\log _x}\left[ {{{\log }_9}\left( {{3^x} - 9} \right)} \right] = 1$
- ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2x + 1$
- ${2^{{x^2} - x + 8}} = {4^{1 - 3x}}$
- ${2^{{x^2} - 6x - \frac{5}{2}}} = 16\sqrt 2 $
- ${2^x} + {2^{x - 1}} + {2^{x - 2}} = {3^x} - {3^{x - 1}} + {3^{x - 2}}$
- ${2^x}{.3^{x - 1}}{.5^{x - 2}} = 12$
- ${({x^2} - x + 1)^{{x^2} - 1}} = 1$
- ${25^x} + {10^x} = {2^{2x + 1}}$
- ${3^{x + 1}} = {5^{x - 2}}$
- ${7^x} + {2.7^{1 - x}} - 9 = 0$
- ${2^{2x + 6}} + {2^{x + 7}} - 17 = 0$
- ${(2 + \sqrt 3 )^x} + {(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0$
- ${2.16^x} - {15.4^x} - 8 = 0$
- ${(3 + \sqrt 5 )^x} + 16{(3 - \sqrt 5 )^x} = {2^{x + 3}}$
- ${(7 + 4\sqrt 3 )^x} - 3{(2 - \sqrt 3 )^x} + 2 = 0$
- ${2.4^{\frac{1}{x}}} + {6^{\frac{1}{x}}} = {9^{\frac{1}{x}}}$
- ${8^{\frac{2}{x}}} - {2^{\frac{{3x + 3}}{x}}} + 12 = 0$
- ${5^x} + {5^{x + 1}} + {5^{x + 2}} = {3^x} + {3^{x + 1}} + {3^{x + 2}}$
- ${\log _2}\left( {x + 3} \right) = 1 + {\log _2}\left( {x - 1} \right)$
- ${x^2} - (3 - {2^x})x + 2(1 - {2^x}) = 0$
- ${2^{x - 4}} = \sqrt[3]{4}$
- ${3^{2x - 3}} = {9^{{x^2} + 3x - 5}}$
- ${32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = \frac{1}{4}{.128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}$
- ${\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} - 2{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}} + \frac{8}{5} = 0$
Chỉnh sửa cuối:
