Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 2)

[Doremon]

Trong chương trình Toán trung học phổ thông bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau. Nhằm giúp các em có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải nguyên hàm để các em tham khảo. Phương pháp thường sử dụng:

• PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
• PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
• PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
• PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
• PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

V. PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ

Giả sử cần tính $I = \int {f\left( x \right)dx} $. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J = \int {g\left( x \right)dx} $ sao cho việc tính I + J và I - J đơn giản hơn. Chẳng hạn:

• $I = \int {\frac{{\sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

Ta có thể xét $J = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

Khi đó:
$I + J = \int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \int {dx} = x + C$

$I - J = \int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = - \int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} = - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C$

Từ đó suy ra: $2I = x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right) + C$

• $I = \int {\frac{{{{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} $
Khi đó:
$I + J = \int {\frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {dx} = x + C$

$I - J = \int {\frac{{{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\cos 2x}}{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}} dx = - \int {\frac{{2\cos 2x}}{{{{\sin }^2}2x - 2}}} dx$
$ = - \int {\frac{{d\left( {\sin 2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

Từ đó suy ra:
$2I = x - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sin 2x - \sqrt 2 }}{{\sin 2x + \sqrt 2 }}} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
Ta có thể xét $J = \int {\frac{{{e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx$
Khi đó:

$I + J = \int {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {dx} = x + C$

$I - J = \int {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx = \int {\frac{{d\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} = \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

Từ đó suy ra: $2I = x + \ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C \Rightarrow I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln \left| {{e^x} + {e^{ - x}}} \right| + C$

• $I = \int {\frac{{4\sin x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $
Ta có thể xét $J = \int {\frac{{4\cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} $

Khi đó:
$I + J = 4\int {\frac{{\sin x + \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}dx} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}}} = 4\int {\frac{{dx}}{{{{\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}^2}}}} $

$ = 2\int {\frac{{d\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$

$I - J = 4\int {\frac{{\sin x - \cos x}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} dx = - 4\int {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}} = 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C$

Từ đó suy ra nguyên hàm:
$2I = - 2\cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^{ - 2}} + C \Rightarrow I = \frac{1}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} - \cot \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + C$

 

[xemercedes]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)

 

[seoviemhong]

Tìm nguyên hàm cuả hàm số \(f(x) = \frac{{\sqrt {\ln x} }}{x}\).
A. \(\int {f(x)dx = 2{{\left( {\ln x} \right)}^{\frac{3}{2}}} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{1}{{2\sqrt {\ln x} }} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt {{{\left( {\ln x} \right)}^3}} } + C\)

 

[di Angelo]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x{e^{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } 2{e^{{x^2} + 1}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {e^{{x^2} + 1}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } {x^2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{e^{{x^2} + 1}} + C\)

 

[dichchuan123]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\).
A. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
B. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
C. \(\int {f(x) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)
D. \(\int {f(x) = \left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 - {x^2}} + C}\)

 

[dichngonngu]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2x + 1}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{2\sqrt {2x + 1} }} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{4\sqrt {2x + 1} }} + C\)

 

[Thạch24]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 + \ln x}}{x}\) .
A. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}{\ln ^2}x + \ln x + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}x + \ln x + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } x + {\ln ^2}x + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } x + \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\)

 

[Noctrlz]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \tan 2x\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{2}\ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = 2\ln \left| {\sin 2x} \right| + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \ln \left| {\cos 2x} \right| + C\)

 

[Mia]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x\ln ({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}\).
A. \(\int {f(x)dx = } \ln ({x^2} + 1) + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{4}{\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{1}{2}\ln ({x^2} + 1) + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } {\ln ^2}({x^2} + 1) + C\)

 

[Miko]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} + 4}}\).
A. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 2\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
B. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
C. \(\int {f(x) = } \sqrt {2x - 1} - 4\ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)
D. \(\int {f(x) = } 2\sqrt {2x - 1} - \ln \left( {\sqrt {2x - 1} + 4} \right) + C\)

 

[bobi5355]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - 1} .\)
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = \frac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + C\)

 

[Bia]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \ln 4x.\)
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{4}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{x}{2}\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2x\left( {\ln 4x - 1} \right) + C\)

 

[bibihana]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\)
A. S=2012
B. S=2010
C. S=2009
D. S=2011

 

[Hiền Lành]

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{e^x} + 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = - \ln 2.\) Tìm tập nghiệm S của phương trình \(F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) = 3.\)
A. \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
B. \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\)
C. \(S = \left\{ { 3} \right\}\)
D. \(S = \emptyset\)

 

[Hien1209]

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^3}x}}{x}.\)
A. \(F\left( x \right) = \frac{{x.{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}\left( {x + 1} \right)}}{4}\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x}}{{2.{x^2}}}\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{{\ln }^4}x + 1}}{4}\)

 

[Hiennhan]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {(1 - 2x)^5}.\)
A. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{12}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
B. \(\int {f(x)dx = {{(1 - 2x)}^6} + C}\)
C. \(\int {f(x)dx =5{{(1 - 2x)}^6} + C}\)
D. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{{2}}{{(1 - 2x)}^6} + C}\)

 

[hiennhan12]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
A. \(\int {f(x)dx = \frac{{{x^2}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
B. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{2}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
C. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}\)
D. \(\int {f(x)dx = \frac{{{1}}}{3}{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^3}}\)

 

[hiepgalup01]

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{7{x^3} + 1}}.\)
A. \(y =\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
B. \(y =\frac{1}{7}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
C. \(y =\frac{1}{21}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)
D. \(y =\frac{1}{14}\ln\left| {7{x^3} + 1} \right|\)

 

[hiepgalup01]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(1 - 4x)}^{10}}}}}}.\)
A. \(\int {f(x)dx = } - \frac{3}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx = } \frac{12}{7}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx = } \frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } -\frac{3}{28}{(1 - 4x)^{ - \frac{7}{3}}} + C\)

 

[Quân2310]

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}.\)
A. \(\int {f(x)dx = x\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
B. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}({x^2} + 4)\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
C. \(\int {f(x)dx = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} } + C\)
D. \(\int {f(x)dx = } - \frac{1}{3}({x^2} - 4)\sqrt {2 - {x^2}} + C\)