Trong chương trình Toán trung học phổ thông bài toán nguyên hàm là không thể thiếu trong chương trình học chính thức trên nhà trường cũng như luyện thi đại học. Đây là lớp bài toán quan trọng, có liên quan mật thiết với nhau. Tính thành thạo đạo hàm của hàm số, có thể giúp chúng ta suy luận để hướng tới kết quả của bài toán tìm nguyên hàm, cũng như kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Ngược lại, tính thành thạo nguyên hàm, có thể giúp ta tính được nhiều tích phân đơn giản của các hàm số khác nhau… về sau. Nhằm giúp các em có thêm những cách giải nhanh - hiệu quả, ở đây tôi xin đưa phương pháp giải nguyên hàm để các em tham khảo. Phương pháp thường sử dụng:
1. Nội dung phương pháp
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính $I = \int {{f_1}\left( x \right).{f_2}\left( x \right)dx} $, ta làm như sau:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {f_1}\left( x \right)\\
dv = {f_2}\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = ...\\
v = ...
\end{array} \right.$
Từ đó $I = uv - \int {vdu} $
2. Chú ý
Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít Đa thức $\left[ \begin{array}{l}
\sin x,\,\cos x\\
{e^x}
\end{array} \right.$
3. Một số ví dụ
Tìm các nguyên hàm:
•$I = \int {x{\rm{sin2}}xdx} $
Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u = x
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin 2xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = - \frac{1}{2}\cos 2x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
•$I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}$
Tính ${I_1} = \int {x{e^{2x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C$
Từ đó:
$I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C$
•$I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1}$
Tính ${I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{2}x\\
dv = \cos 4xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{2}dx\\
v = \frac{1}{4}\sin 4x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x - \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$
Từ đó: $I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$
•$I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx} $
Với bài này, khi mà bậc của P(x) = 2, sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!
• Cách 1: Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2{x^2} + x + 1\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \left( {4x + 1} \right)dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx} $
Tính ${I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 4x + 1\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 4dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4{e^x} + C = \left( {4x - 3} \right){e^x} + C$
$ \Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \left( {4x - 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C$
• Cách 2: Giả sử $\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx} = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x} + C$
→ [ $\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}$ ]' = [ $\left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x} + C$ ]'
$ \Rightarrow \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}$
$ \Rightarrow \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + \left( {b + c} \right)} \right]{e^x}$
$ \Rightarrow 2{x^2} + x + 1 = a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + \left( {b + c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = a\\
1 = 2a + b\\
1 = b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 3\\
c = 4
\end{array} \right.$
Vậy
•$I = \int {{e^{2x}}\cos 3xdx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{2x}}\\
dv = \cos 3xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2{e^{2x}}dx\\
v = \frac{1}{3}\sin 3x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}\sin 3x} dx = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{I_1}$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{2x}}\\
dv = \sin 3xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2{e^{2x}}dx\\
v = - \frac{1}{3}\cos 3x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}\cos 3x} = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}M$
Từ đó:
$I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{M_1} = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{I_1} = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}I} \right)$
$ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x - \frac{4}{9}I \Rightarrow \frac{{13}}{9}I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x + {C_1}$
$\Rightarrow I = \frac{{\left( {3\sin 3x + 2\cos 3x} \right){e^{2x}}}}{{13}} + C$
•$I = \int {{x^2}\ln xdx} $ (ĐS: $I = \frac{1}{3}{x^3}\ln x - \frac{1}{9}{x^3} + C$)
•$I = \int {{x^3}\ln xdx} $ (ĐS: $I = \frac{1}{4}{x^4}\ln x - \frac{1}{{16}}{x^4} + C$)
•$I = \int {{x^2}\ln \left( {x + 1} \right)dx} = ...\frac{1}{3}{x^2}\ln \left( {x + 1} \right) - \frac{1}{9}{x^3} + \frac{1}{6}{x^2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + C$
•$I = \int {\frac{{x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\
dv = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^{\rm{2}}} + 1} }}\\
v = \sqrt {{x^2} + 1}
\end{array} \right.$.
Ta được $I = \sqrt {{x^2} + 1} \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - x + C$
•$I = \int {{{\ln }^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} $
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
v = x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = x.{\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - 2\int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
$ = x{\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} .\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 2x + C$
•$I = \int {{{\left( {\frac{{\ln x}}{x}} \right)}^2}dx} $. Ta có $I = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}dx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2\ln x.\frac{{dx}}{x}\\
v = - \frac{1}{x}
\end{array} \right.$.
Ta được $I = - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + C$
•$I = \int {\left( {\frac{1}{{\ln x}} - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}} \right)dx} = \int {\frac{{dx}}{{\ln x}} - \int {\frac{{dx}}{{{{\ln }^2}x}}} } = {I_1} - {I_2}$.
Tính I$_1$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{{\ln x}}\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - \frac{{dx}}{{x{{\ln }^2}x}}\\
v = x
\end{array} \right.$.
Từ đó ${I_1} = \frac{x}{{\ln x}} + {I_2}$. Từ đó $I = \frac{x}{{\ln x}} + C$
•$I = \int {x\ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}}dx} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{2dx}}{{{x^2} - 1}}\\
x = \frac{1}{2}{x^2}
\end{array} \right.$. Từ đó $I = x + \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$
•$I = \int {{e^{3x}}\sin 2xdx} = ... = \frac{{\left( {3\sin 2x - 2\cos 2x} \right){e^{3x}}}}{{13}} + C$
•$I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx} = ... = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C$
•$I = \int {\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}}dx} $
Giả sử: $Q = \int {\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}}dx} = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^{2x}} + C$
$ \Rightarrow \left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}} = \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right){e^{2x}} + 2\left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^{2x}}$
$ \Rightarrow 2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4 = 2a{x^3} + \left( {3a + 2b} \right){x^2} + \left( {2b + 2c} \right)x + c + 2d$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = 2a\\
5 = 3a + 2b\\
- 2 = 2b + 2c\\
4 = c + 2d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1\\
c = - 2\\
d = 3
\end{array} \right. \Rightarrow Q = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x + 3} \right){e^{2x}} + C$
$R = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}} dx = ... = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C$
IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
•$I = \int {\sin \sqrt x dx} $
Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = \int {\sin t.\left( {2tdt} \right)} = \int {2t\sin tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2t\\
dv = \sin tdt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2dt\\
v = - \cos t
\end{array} \right. \Rightarrow I = - 2t\cos t + 2\int {\cos tdt} = - 2t\cos t + 2\sin t + C$
Vậy $I = 2\sin \sqrt x - 2\sqrt x \cos \sqrt x + C$
•$I = \int {\sin \left( {\ln x} \right)dx} $. Đặt $t = \ln x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dt = \frac{{dx}}{x} \Rightarrow dx = xdt\\
x = {e^t}
\end{array} \right.$
Từ đó $I = \int {{e^t}\sin tdt} = \frac{{x\left[ {\sin \left( {\ln x} \right) - \cos \left( {\ln x} \right)} \right]}}{2} + C$
•$I = \int {{x^8}{e^{{x^3}}}dx} $. Đặt ${x^3} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2}dx = dt\\
{x^6} = {t^2}
\end{array} \right.$.
Từ đó $I = \frac{1}{3}\int {{t^2}{e^t}dt = \frac{1}{3}\left( {{x^6} - 2{x^3} + 2} \right){e^{{x^3}}}} + C$
•$I = \int {{e^{\sqrt x }}dx} $. Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\int {t{e^t}dt} = 2\sqrt x {e^{\sqrt x }} - 2{e^{\sqrt x }} + C$
- PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
- PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
- PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
- PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
- PHƯƠNG PHÁP 5: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ
1. Nội dung phương pháp
Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích. Giả sử cần tính $I = \int {{f_1}\left( x \right).{f_2}\left( x \right)dx} $, ta làm như sau:
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {f_1}\left( x \right)\\
dv = {f_2}\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = ...\\
v = ...
\end{array} \right.$
Từ đó $I = uv - \int {vdu} $
2. Chú ý
Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:
Lôgarít Đa thức $\left[ \begin{array}{l}
\sin x,\,\cos x\\
{e^x}
\end{array} \right.$
3. Một số ví dụ
Tìm các nguyên hàm:
•$I = \int {x{\rm{sin2}}xdx} $
Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u = x
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin 2xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = - \frac{1}{2}\cos 2x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = - \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C$
•$I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - {I_1}$
Tính ${I_1} = \int {x{e^{2x}}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^{2x}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \frac{1}{2}{e^{2x}}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C$
Từ đó:
$I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C$
•$I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1}$
Tính ${I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{2}x\\
dv = \cos 4xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{2}dx\\
v = \frac{1}{4}\sin 4x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x - \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$
Từ đó: $I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C$
•$I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx} $
Với bài này, khi mà bậc của P(x) = 2, sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!
• Cách 1: Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = 2{x^2} + x + 1\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \left( {4x + 1} \right)dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx} $
Tính ${I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 4x + 1\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 4dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} - 4{e^x} + C = \left( {4x - 3} \right){e^x} + C$
$ \Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} - \left( {4x - 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C$
• Cách 2: Giả sử $\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx} = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x} + C$
→ [ $\int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}$ ]' = [ $\left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x} + C$ ]'
$ \Rightarrow \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}$
$ \Rightarrow \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} = \left[ {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + \left( {b + c} \right)} \right]{e^x}$
$ \Rightarrow 2{x^2} + x + 1 = a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + \left( {b + c} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = a\\
1 = 2a + b\\
1 = b + c
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = - 3\\
c = 4
\end{array} \right.$
Vậy
•$I = \int {{e^{2x}}\cos 3xdx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{2x}}\\
dv = \cos 3xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2{e^{2x}}dx\\
v = \frac{1}{3}\sin 3x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}\sin 3x} dx = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{I_1}$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {e^{2x}}\\
dv = \sin 3xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2{e^{2x}}dx\\
v = - \frac{1}{3}\cos 3x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {I_1} = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}\int {{e^{2x}}\cos 3x} = - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}M$
Từ đó:
$I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{M_1} = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}{I_1} = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x - \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3}{e^{2x}}\cos 3x + \frac{2}{3}I} \right)$
$ = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x - \frac{4}{9}I \Rightarrow \frac{{13}}{9}I = \frac{1}{3}{e^{2x}}\sin 3x + \frac{2}{9}{e^{2x}}\cos 3x + {C_1}$
$\Rightarrow I = \frac{{\left( {3\sin 3x + 2\cos 3x} \right){e^{2x}}}}{{13}} + C$
•$I = \int {{x^2}\ln xdx} $ (ĐS: $I = \frac{1}{3}{x^3}\ln x - \frac{1}{9}{x^3} + C$)
•$I = \int {{x^3}\ln xdx} $ (ĐS: $I = \frac{1}{4}{x^4}\ln x - \frac{1}{{16}}{x^4} + C$)
•$I = \int {{x^2}\ln \left( {x + 1} \right)dx} = ...\frac{1}{3}{x^2}\ln \left( {x + 1} \right) - \frac{1}{9}{x^3} + \frac{1}{6}{x^2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\ln \left| {x + 1} \right| + C$
•$I = \int {\frac{{x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\
dv = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^{\rm{2}}} + 1} }}\\
v = \sqrt {{x^2} + 1}
\end{array} \right.$.
Ta được $I = \sqrt {{x^2} + 1} \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - x + C$
•$I = \int {{{\ln }^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx} $
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
v = x
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow I = x.{\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - 2\int {\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
$ = x{\ln ^2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - 2\sqrt {{x^2} + 1} .\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + 2x + C$
•$I = \int {{{\left( {\frac{{\ln x}}{x}} \right)}^2}dx} $. Ta có $I = \int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{{x^2}}}dx} $. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2\ln x.\frac{{dx}}{x}\\
v = - \frac{1}{x}
\end{array} \right.$.
Ta được $I = - \frac{1}{x}\ln x - \frac{1}{x} + C$
•$I = \int {\left( {\frac{1}{{\ln x}} - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}} \right)dx} = \int {\frac{{dx}}{{\ln x}} - \int {\frac{{dx}}{{{{\ln }^2}x}}} } = {I_1} - {I_2}$.
Tính I$_1$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \frac{1}{{\ln x}}\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - \frac{{dx}}{{x{{\ln }^2}x}}\\
v = x
\end{array} \right.$.
Từ đó ${I_1} = \frac{x}{{\ln x}} + {I_2}$. Từ đó $I = \frac{x}{{\ln x}} + C$
•$I = \int {x\ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}}dx} $.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{2dx}}{{{x^2} - 1}}\\
x = \frac{1}{2}{x^2}
\end{array} \right.$. Từ đó $I = x + \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$
•$I = \int {{e^{3x}}\sin 2xdx} = ... = \frac{{\left( {3\sin 2x - 2\cos 2x} \right){e^{3x}}}}{{13}} + C$
•$I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx} = ... = \frac{{\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C$
•$I = \int {\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}}dx} $
Giả sử: $Q = \int {\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}}dx} = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^{2x}} + C$
$ \Rightarrow \left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4} \right){e^{2x}} = \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right){e^{2x}} + 2\left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^{2x}}$
$ \Rightarrow 2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 4 = 2a{x^3} + \left( {3a + 2b} \right){x^2} + \left( {2b + 2c} \right)x + c + 2d$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 = 2a\\
5 = 3a + 2b\\
- 2 = 2b + 2c\\
4 = c + 2d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1\\
c = - 2\\
d = 3
\end{array} \right. \Rightarrow Q = \left( {{x^3} + {x^2} - 2x + 3} \right){e^{2x}} + C$
$R = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}} dx = ... = \left( {2{x^2} - 3x + 4} \right){e^x} + C$
IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ
•$I = \int {\sin \sqrt x dx} $
Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = \int {\sin t.\left( {2tdt} \right)} = \int {2t\sin tdt} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2t\\
dv = \sin tdt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2dt\\
v = - \cos t
\end{array} \right. \Rightarrow I = - 2t\cos t + 2\int {\cos tdt} = - 2t\cos t + 2\sin t + C$
Vậy $I = 2\sin \sqrt x - 2\sqrt x \cos \sqrt x + C$
•$I = \int {\sin \left( {\ln x} \right)dx} $. Đặt $t = \ln x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dt = \frac{{dx}}{x} \Rightarrow dx = xdt\\
x = {e^t}
\end{array} \right.$
Từ đó $I = \int {{e^t}\sin tdt} = \frac{{x\left[ {\sin \left( {\ln x} \right) - \cos \left( {\ln x} \right)} \right]}}{2} + C$
•$I = \int {{x^8}{e^{{x^3}}}dx} $. Đặt ${x^3} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3{x^2}dx = dt\\
{x^6} = {t^2}
\end{array} \right.$.
Từ đó $I = \frac{1}{3}\int {{t^2}{e^t}dt = \frac{1}{3}\left( {{x^6} - 2{x^3} + 2} \right){e^{{x^3}}}} + C$
•$I = \int {{e^{\sqrt x }}dx} $. Đặt $\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt \Rightarrow I = 2\int {t{e^t}dt} = 2\sqrt x {e^{\sqrt x }} - 2{e^{\sqrt x }} + C$
Chỉnh sửa cuối:
