Phương pháp tọa độ Oxyz trong không gian

[Doremon]

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Ta có: Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể:

1. Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Với hình lập phương
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0)
A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a)

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0)
A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c)

2. Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’

​

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

• Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
• Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

3. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO = h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : $A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right);C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0;0} \right)$
$B\left( {0; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right);D\left( {0;\frac{{a\sqrt 2 }}{2};0} \right);S(0;0;h)$

4. Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h. Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)
Khi đó:
$A\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right);{\rm{ }}B\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)$
$C\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right);{\rm{ S}}\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{6};h} \right)$

5. Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA $ \bot $ (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b và chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h)

6. Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA $ \bot $ (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a và chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

7. Với hình chóp S.ABC có SA $ \bot $ (ABC) và Δ ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có AB = a; AC = b đường cao bằng h.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h)

8. Với hình chóp S.ABC có SA $ \bot $ (ABC) và Δ ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có BA = a; BC = b đường cao bằng h.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0)
Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h)

9. Với hình chóp S.ABC có (SAB) $ \bot $ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại C

ΔABC vuông tại C với CA = a; CB = b và chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0)
Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h)

10. Với hình chóp S.ABC có (SAB) $ \bot $ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại A

hình a)
ΔABC vuông tại A: AB = a; AC = b và chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0)
Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h)

hình b)
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA = CB = a đường cao bằng h.
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)
Khi đó: $C\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }};0;0} \right);{\rm{ A}}\left( {0;\frac{a}{{\sqrt 2 }};0} \right);{\rm{ B}}\left( {0; - \frac{a}{{\sqrt 2 }};0} \right){\rm{; S}}\left( {0;0;h} \right)$

 

[Doremon]

Bài tập vận dụng

Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng: cos$^2$α + cos$^2$β + cos$^2$γ = 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Giải​

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O(0; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c)
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = ( - a{\rm{ }};{\rm{ }}b{\rm{ }};{\rm{ }}0)\\\overrightarrow {AC} = ( - a{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}c)\end{array}$

Tìm vectơ pháp tuyến của: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (bc{\rm{ ; }}ac{\rm{ ; }}ab)$
• Mặt phẳng (ABC): $\overrightarrow i = ({\rm{ }}1,{\rm{ }}0,{\rm{ }}0);\,vì\,Ox \bot (OBC)$
• Mặt phẳng (OBC): $\overrightarrow j = ({\rm{ }}0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}0);\,Vi\,Oy \bot (OCA)$
• Mặt phẳng (OCA): $\overrightarrow k = ({\rm{ }}0,{\rm{ }}0,{\rm{ }}1);\,\,vi\,\,Oz \bot (OAB)$
• Mặt phẳng (OAB)

Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng:
$\begin{array}{l}
\cos \alpha = \cos \left( {(OBC),(ABC)} \right) = \frac{{\left| {b.c} \right|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\\
\cos \beta = \cos \left( {(OBC),(ABC)} \right) = \frac{{\left| {a.b} \right|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\\
\cos \gamma = \cos \left( {(OBC),(ABC)} \right) = \frac{{\left| {a.b} \right|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}\\
\to {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma = \frac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}} = 1
\end{array}$


Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A’C’ vuông góc với mặt phẳng (AB’D’)
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mặt phẳng (AB’D’) là trọng tâm của tam giác ΔAB’D’.
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD)
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’)
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Giải​

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau: O ≡ A(0;0;0); A’(0;0;a); B(a;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0); C’(a;a;a); D(0;a;0); D’(0;a;a);

a. Chứng minh: $A'C \bot (AB'D')$ Nếu $\left\{ \begin{array}{l}A'C \bot AB'\\A'C \bot AD'\end{array} \right. \Rightarrow A'C \bot (AB'D')$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'C} = (a;a; - a)\\\overrightarrow {AB'} = (a;0;a)\\\overrightarrow {AD'} = (0;a;a)\end{array} \right.$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'} = {a^2} + 0 - {a^2} = 0\\\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'} = 0 + {a^2} - {a^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'C \bot AB'\\A'C \bot AD'\end{array} \right.$
Nên $A'C \bot mp(AB'D')$

b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mặt phẳng (AB’D’) là trọng tâm của tam giác ΔAB’D’.
Gọi $G = A'C \cap (AB'D')$
Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A’C và mặt phẳng (AB’D’) là nghiệm của hệ :
$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = a - t\\x + y - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{3}\\y = \frac{a}{3}\\z = \frac{{2a}}{3}\end{array} \right. \to G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\left( 1 \right)$
Mặt khác : $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_{B'}} + {x_{D'}}}}{3} = \frac{a}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_{B'}} + {y_{D'}}}}{3} = \frac{a}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_{B'}} + {z_{D'}}}}{3} = \frac{{2a}}{3}\end{array} \right.\left( 2 \right)$
Vậy giao điểm G của đường chéo A’C’ và mặt phẳng (AB’D’) là trọng tâm của tam giác AB’D’

c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD)
Ta có: (AB’D’): x + y – z = 0
(C’BD): x + y – z – a = 0
→(AB’D’)// (C’BD)→ $d\left( {(AB'D'),(C'BD)} \right) = d\left( {B,(AB'D')} \right) = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$

d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’)
Vec tơ pháp tuyến của (ABB’A’) là $\overrightarrow j = (0{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0)$ Vectơ pháp tuyến của (DA’C): $\overrightarrow {{n_3}} = (0;1; - 1)$ →$\cos \left( {(DA'C),(ABB'A')} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \to \left( {(DA'C),(ABB'A')} \right) = {45^o}$

 

[Hồ Tấn]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow {AO} = 3\left( {\overrightarrow i + 4\overrightarrow j } \right) - 2\overrightarrow k + 5\overrightarrow j\) Tìm tọa độ điểm A.
A. \(A\left( {3, - 2,5} \right)\)
B. \(A\left( { - 3, - 17,2} \right)\)
C. \(A\left( {3,17, - 2} \right)\)
D. \(A\left( {3,5, - 2} \right)\)

 

[vetnang082015]

Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng \(d\,:\,\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 4t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right.\).Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d.
A. H(2;-3;-1)
B. H(2;3;1)
C. H(2;-3;1)
D. H(-2;3;1)

 

[Kha Nguyễn]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất là:
A. M(-1;1;5)
B. M(1;-1;3)
C. M(2;1;-5)
D. M(-1;3;2)

 

[Khải Hoàng]

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {1,0,0} \right);\,B\left( {0,1,0} \right);C\left( {0,0,1} \right);D\left( {1,1,1} \right)\). Xác định tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
A. \(G\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\)
B. \(G\left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}} \right)\)
C. \(G\left( {\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)\)
D. \(G\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}} \right)\)

 

[Khải Minh]

Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow u\) biết rằng \(\overrightarrow a + \overrightarrow u = \overrightarrow 0\) và \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;1} \right)\).
A. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2;8} \right)\)
B. \(\overrightarrow u = \left( {6; - 4; - 6} \right)\)
C. \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 8;2} \right)\)
D. \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right)\)

 

[khaminh1002]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{u_2}} = (3; - 5;1).\)
Tính \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|.\)
A. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left( { - 8; - 5; - 1} \right)\)
B. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left( { 8; 5; 1} \right)\)
C. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = 20\)
D. \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = 3\sqrt{10}\)

 

[tienduat82]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;-2;-1) và B(1;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA= 2MB.
A. \(M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
B. \(M(2;0;5)\)
C. \(M\left( {\frac{2}{3}; - \frac{4}{3};1} \right)\)
D. \(M\left( { - 1; - 3; - 4} \right)\)

 

[tiendatnovaland]

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;1} \right),\overrightarrow c = \left( { - 4;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c.\)
A. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;2;3} \right)\)
B. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;-2;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;-2;-3} \right)\)
D. \(\overrightarrow m = \left( { - 4;2;-3} \right)\)

 

[vetnang082015]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(-1;2;3) và B(3;-1;2). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn \(MA.\overrightarrow {MA} = 4MB.\overrightarrow {MB}.\)
A. \(M\left( {\frac{5}{3};0;\frac{7}{3}} \right)\)
B. \(M(7;-4;1)\)
C. \(M\left( {1;\frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)\)
D. \(M\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

 

[duanpanora]

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + z + 6 = 0\) và điểm \(A\left( {2, - 1,0} \right)\). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
A. H(1;-1;1)
B. H(-1;1;-1)
C. H(3;-2;1)
D. H(5;-3;1)

 

[Ducdeu99]

Cho các vectơ \(\vec a = (1;2;3);\,\,\vec b = ( - 2;4;1);\,\,\vec c = ( - 1;3;4)\) . Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 5\overrightarrow c\)
A. \(\overrightarrow v = \left( {7;3;23} \right)\)
B. \(\overrightarrow v = \left( {7;23;3} \right)\)
C. \(\overrightarrow v = \left( {23;7;3} \right)\)
D. \(\overrightarrow v = \left( {3;7;23} \right)\)

 

[ducganghanviet]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;6;5} \right)\) và tọa độ trọng tâm \(G\left( { - 1;2;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm C.
A. \(C\left( { - 6; - 1;7} \right)\)
B. \(C\left( {6;1;7} \right)\)
C. \(C\left( {\frac{{ - 10}}{3}; - \frac{{19}}{3}; - \frac{{19}}{3}} \right)\)
D. \(C\left( {\frac{{10}}{3};\frac{{19}}{3};\frac{{19}}{3}} \right)\)

 

[duchieudinh]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;1;3} \right);B\left( {2;3;5} \right);C\left( { - 1;2;6} \right)\). Xác định tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = 0\).
A. \(M\left( {7;3;1} \right)\)
B. \(M\left( { - 7; - 3; - 1} \right)\)
C. \(M\left( {7; - 3;1} \right)\) D. \(M\left( {7; - 3; - 1} \right)\)

 

[di Angelo]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ: \(\overrightarrow a = (2; - 5;3);\,\overrightarrow b = \left( {0;2; - 1} \right);\,\overrightarrow c = \left( {1;7;2} \right)\) . Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b - 2\overrightarrow c\).
A. \(\overrightarrow d = \left( {0; - 27;3} \right)\)
B. \(\overrightarrow d = \left( {1;2; - 7} \right)\)
C. \(\overrightarrow d = \left( {0;27;3} \right)\)
D. \(\overrightarrow d = \left( {0;27; - 3} \right)\)

 

[dichchuan123]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3; - 2;3),\,\,B( - 1;2;5)\). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB?
A. I(-2;2;1)
B. I(1;0;4)
C. I(2;0;8)
D. I(2;-2;-1)

 

[tungaqhd]

 

[dichngonngu]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {3;3;4} \right),C\left( { - 1;1;2} \right).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C
B. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A và B
C. 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa C và A
D. 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

 

[diem05059301]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A\left( { - 1;3;1} \right),B\left( {1;4;2} \right). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm I. Tìm \(k\) biết \overrightarrow {IB} = k.\overrightarrow {IA} .
A. \(k=-2\)
B. \(k=2\)
C. \(k=-\frac{1}{2}\)
D. \(k=\frac{1}{2}\)