Tích phân lượng giác

[Doremon]

Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì vậy nó đòi hỏi người học phải có phương pháp giải đối với một số bài.

Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn vận dụng phương pháp tích phân lượng giác.

I. Phương pháp

Dạng 1: $I = \int\limits_\alpha ^\beta {\sin mx.\cos nxdx}$
Cách làm:
biến đổi tích sang tổng.

Dạng 2: $I = \int\limits_\alpha ^\beta {{{\sin }^m}x.{{\cos }^n}x.dx} $
Cách làm:

• Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan(x)
• Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin(x) (trường hợp còn lại thì ngược lại)

Dạng 3: $I = \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{dx}}{{a.\sin x + b.\cos x + c}}} $
Cách làm:

Đặt: $t = \tan \frac{x}{2}\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\
\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}
\end{array} \right.$

Dạng 4: $I = \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x}}.dx} $

Cách làm:
Đặt: $\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x}} = A + \frac{{B(c.\cos x - d.\sin x)}}{{c.\sin x + d.\cos x}}$
Sau đó dùng đồng nhất thức.

Dạng 5: $I = \int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{a.\sin x + b.\cos x + m}}{{c.\sin x + d.\cos x + n}}.dx} $

Cách làm:
Đặt: $\frac{{a.\sin x + b.\cos x + m}}{{c.\sin x + d.\cos x + n}} = A + \frac{{B(c.\cos x - d.\sin x)}}{{c.\sin x + d.\cos x + n}} + \frac{C}{{c.\sin x + d.\cos x + n}}$
Sau đó dùng đồng nhất thức.

II. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tích phân :
a) ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos xdx}}{{{{(\sin x + 1)}^4}}}} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}xdx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^6}xdx} $

Giải​

a) Đặt : t = sin(x) + 1 → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 1\\
x = \frac{\pi }{2} \to t = 2
\end{array} \right.$
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos xdx}}{{{{(\sin x + 1)}^4}}}} = \int\limits_1^2 {\frac{{dt}}{{{t^4}}}} = \left. { - \frac{1}{{3{t^3}}}} \right|_1^2 = \frac{7}{{24}}$

b) Đặt: t = sin(x) → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \to t = 1
\end{array} \right.$
Vậy : ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}xdx} = \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt = \int\limits_0^1 {\left( {1 + {t^4} - 2{t^2}} \right)} } dt = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{2}{3}{t^3} + t} \right)} \right|_0^1} = \frac{8}{{15}}$

c) Đặt: t = tan(x) → dt = (tan$^2$(x) + 1)dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \to t = 1\end{array} \right.$
Vậy : ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^6}xdx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^6}dt}}{{{t^2} + 1}} = \int\limits_0^1 {\left( {{t^4} - {t^2} + 1 - \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} } dt = \left. {\left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3} + t} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du = \frac{{13}}{{15}}} - \frac{\pi }{4}$

Bài tập 2: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x.\cos x}}{{\sqrt {{a^2}.{{\sin }^2}x + {b^2}.{{\cos }^2}x} }}dx} $

b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {2 + \cos 2x} }}dx} $

Giải​

a) Đặt: $t = {a^2}.{\sin ^2}x + {b^2}.{\cos ^2}x\quad \Rightarrow \quad dt = 2( - {b^2} + {a^2})\sin x.\cos xdx\quad $
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = {a^2}\\
x = \frac{\pi }{2} \to t = {b^2}
\end{array} \right.$

Nếu |a| ≠ |b|
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x.\cos x}}{{\sqrt {{a^2}.\sin x + {b^2}.\cos x} }}dx = \frac{1}{{2\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}\int\limits_{{a^2}}^{{b^2}} {\frac{{dt}}{{\sqrt t }}} } = \left. {\frac{1}{{{b^2} - {a^2}}}\sqrt t } \right|_{{a^2}}^{{b^2}} = \frac{{\left| a \right| - \left| b \right|}}{{{b^2} - {a^2}}} = \frac{1}{{\left| a \right| + \left| b \right|}}$

Nếu |a| = |b|
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x.\cos x}}{{\sqrt {{a^2}.{{\sin }^2}x + {b^2}.{{\cos }^2}x} }}dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x.\cos xdx}}{{\left| a \right|}}} = \frac{1}{{2\left| a \right|}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx = - } \left. {\frac{1}{{4\left| a \right|}}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \frac{1}{{2\left| a \right|}}$

b) Đặt: t = sin(x) → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 0\\
x = \frac{\pi }{3} \to t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos x}}{{\sqrt {2 + \cos 2x} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{\sqrt {3 - 2{t^2}} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{\sqrt {\frac{3}{2} - {t^2}} }}} $

Đặt: $t = \sqrt {\frac{3}{2}} \cos u\quad \Rightarrow \quad dt = - \sqrt {\frac{3}{2}} \sin udu$
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \to u = \frac{\pi }{2}\\t = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \to u = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.$

Vậy: ${I_2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\frac{{dt}}{{\sqrt {\frac{3}{2} - {t^2}} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin udu}}{{\sqrt {\frac{3}{2}\left( {1 - {{\cos }^2}u} \right)} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {du = \left. {\frac{1}{{\sqrt 2 }}u} \right|} _{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi }{{4\sqrt 2 }}$

Bài tập 3:Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}dx} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x + 7\cos x + 6}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}dx} $

Giải​

a) Đặt: $t = \tan \frac{x}{2}\quad \Rightarrow \quad dt = \left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1} \right)dx\quad \Rightarrow \quad dx = \frac{{2dt}}{{{t^2} + 1}}$
Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \to t = 1\end{array} \right.$
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{2}{{1 + {t^2}}}}}{{4\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + 3\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 5}}dt} = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} = \left. { - \frac{1}{{t + 2}}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}$

b)Đặt: $\frac{{\sin x + 7\cos x + 6}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}} = A + B\frac{{4\cos x - 3\sin x}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}} + \frac{C}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}$
Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1; B = 1; C = 1
Vậy:
$\begin{array}{l}{I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x + 7\cos x + 6}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \frac{{4\cos x - 3\sin x}}{{4\sin x + 3\cos x + 5}} + \frac{1}{{4\sin x + 3\cos x + 5}}} \right)} dx\\\left. {\quad = \left( {x + \ln \left| {4\sin x + 3\cos x + 5} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + {I_1} = \frac{\pi }{2} + \ln \frac{9}{8} + \frac{1}{6}
\end{array}$

III. Bài tập rèn luyện
a) ${I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin {}^2x}}dx} $
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^3}x.\sin xdx} $
c) ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{\sin x + 2}}} $
d) ${I_3} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{{\sin }^3}x}}{{\cos x + 1}}dx}$
e) ${I_5} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\sin x + 2\cos x + 3}}dx} $
f) ${I_6} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x + 1}}{{\sin x + 2\cos x + 3}}dx} $

 

[night duck]

f) ${I_6} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x + 1}}{{\sin x + 2\cos x + 3}}dx}$

Giải hộ em câu này với