Câu 1:
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a = (1; - 2;3){\rm{ ; }}\overrightarrow b = (3;0;5)\) . Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\).
A. 5x-2y-3z-21=0
B. -5x+2y+3z+3=0
C. 10x-4y-6z+21=0
D. 5x-2y-3z+21=0
\((\alpha )\) đi qua M(0;0;-1) nhận \(\vec{n}=-\frac{1}{2}[\vec{a};\vec{b}]\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(5(x-0)-2(y-0)-3(z+1)=0\) hay \(5x-2y-3z-3=0\)
hoặc\(-5x+2y+3z+3=0\)
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4};{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\)
A. \(\overrightarrow n = ( - 5;6; - 7)\)
B. \(\overrightarrow n = (5; - 6;7)\)
C. \(\overrightarrow n = ( - 5; - 6;-7)\)
D. \(\overrightarrow n = ( - 5; 6;7)\)
\(\Delta _2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u _2}=(1;2;-1)\)
\([\vec{u_1};\vec{u_2}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -3 \hspace{15pt} 4 \\ 2 \hspace{15pt} -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \hspace{15pt} 2 \\ -1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \hspace{10pt} -3 \\ 1 \hspace{20pt} 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-5;6;7)\)
Mặt phẳng song song với hai đường thẳng \(\Delta _1\),\(\Delta _2\) có vectơ pháp tuyến
\(\vec{n}=[\vec{u_1};\vec{u_2}]=(-5;6;7)\)
Câu 3:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - 3y + z + 5 = 0\).
A. \(\left( \alpha \right):2x - 3y + z + 11 = 0\)
B. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\)
C. \(\left( \alpha \right): - 2x - 3y + z - 11 = 0\)
D. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z + 22 = 0\)
\(2.1 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) + 3 + m = 0\)\(\Leftrightarrow m = - 11\). Khi đó phương trình :\((\alpha):2x - 3y + z - 11 = 0\) .
Hay:\(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\) .
Dễ thấy B chính là phương án cần tìm.
Câu 4:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + 3y - 5z + 2 = 0\). Tìm khẳng định đúng:
A. Vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 5} \right)\)
B. Điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) không thuộc mặt phẳng (P)
C. Mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 3y - 5z = 0\) song song với mặt phẳng (P)
D. Không có khẳng định nào là đúng.
Thay tọa độ \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) vào (P) ta thấy A thỏa mãn phương trình của (P) nên A thuộc (P).
Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có cùng vectơ pháp tuyến, lấy \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc (P) nhưng không thuộc (Q) nên (P) và (Q) song song.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0;-1;2); B(-1;2;-3); C(0;0;-2).
A. \((P):3x + 4y + z + 2 = 0.\)
B. \((P):7x + 4y + z + 2 = 0\)
C. \((P):5x - 4y + z + 2 = 0\)
D. \((P):7x + 4y - z + 2 = 0\)
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) biết đi qua hai điểm \(A(5; - 2;0);\,B( - 3;4;1)\) và vectơ \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) có phương là một đường thẳng song song với \(\left( \alpha \right)\).
A. \(\left( \alpha \right):5x + 9y - 4z - 7 = 0\)
B. \(\left ( \alpha \right ):5x + 9y - 14z - 7 = 0\)
C. \(\left( \alpha \right):5x - 9y - 4z + 7 = 0\)
D. \(\left( \alpha \right):5x + 9y + 4z + 7 = 0\)
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(2; - 1;1),B(1;0;4),C(0; - 2; - 1)\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC.
A. \(2x + y + 5z - 5 = 0.\)
B. \(x + 2y - 5z + 5 = 0.\)
C. \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\)
D. \(2x - y + 5z - 5 = 0\)
Mặt phẳng (P) vuông góc với BC nên nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {1;2;5} \right)\) là VTPT.
Mặt khác (P) đi qua A, nên phương trình của (P) là:
\(1(x - 2) + 2(y + 1) + 5(z - 1) = 0\) hay \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\)
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương tình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A(3;1; - 1),\,B(2; - 1;4)\) và song song với trục Ox.
A. \(3x + z - 2 = 0\)
B. \(y - z = 0.\)
C. \(y + z - 3 = 0.\)
D. \(5y + 2z - 3 = 0.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\ \overrightarrow k = \left( {1;0;0} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right)\)
Mặt phẳng \((P):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(3;1; - 1)\\ VTPT\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(0(x - 3) + 5(y - 1) + 2(z + 1) = 0\) hay \(5y + 2z - 3 = 0.\)
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;5} \right)\)và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình \(3x - 2y + z + 7 = 0\) và \(5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
A. \(x + 2y + z - 5 = 0.\)
B. \(3x + 2y - 2 = 0\)
C. \(3x - 2y - 2z + 2 = 0.\)
D. \(3x - 2z = 0.\)
\(\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(2; - 1;5)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( {1;2;1} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0\) hay \(x + 2y + z - 5 = 0\).
Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(3; - 1;2);\,B( - 3;1;2)\).
A. \(3x + y = 0\)
B. \(3x - y = 0\)
C. \(x - 3y = 0\)
D. \(x + 3y = 0\)
Gọi M là trung điểm của AB ta có tọa độ M là: \(M(0;0;2)\)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB \(\left\{ \begin{array}{l} qua\,M(0;0;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;0} \right) \end{array} \right.\)
Nên có phương trình là: \(3(x - 0) - 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\).
Mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua M (0; 0; -1) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a = (1; - 2;3){\rm{ ; }}\overrightarrow b = (3;0;5)\) . Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\).
A. 5x-2y-3z-21=0
B. -5x+2y+3z+3=0
C. 10x-4y-6z+21=0
D. 5x-2y-3z+21=0
Hướng dẫn
\([\vec{a};\vec{b}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -2 \hspace{15pt} 3 \\ -2 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 \hspace{15pt} 1 \\ 5 \hspace{15pt} 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 \hspace{10pt} -2 \\ 3 \hspace{20pt} 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-10;4;6)\)\((\alpha )\) đi qua M(0;0;-1) nhận \(\vec{n}=-\frac{1}{2}[\vec{a};\vec{b}]\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:
\(5(x-0)-2(y-0)-3(z+1)=0\) hay \(5x-2y-3z-3=0\)
hoặc\(-5x+2y+3z+3=0\)
Câu 2:
Trong không gian Oxyz, tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{4};{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\)
A. \(\overrightarrow n = ( - 5;6; - 7)\)
B. \(\overrightarrow n = (5; - 6;7)\)
C. \(\overrightarrow n = ( - 5; - 6;-7)\)
D. \(\overrightarrow n = ( - 5; 6;7)\)
Hướng dẫn
\(\Delta _1\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u _1}=(2;-3;4)\)\(\Delta _2\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u _2}=(1;2;-1)\)
\([\vec{u_1};\vec{u_2}]=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -3 \hspace{15pt} 4 \\ 2 \hspace{15pt} -1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 4 \hspace{15pt} 2 \\ -1 \hspace{15pt} 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 \hspace{10pt} -3 \\ 1 \hspace{20pt} 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=(-5;6;7)\)
Mặt phẳng song song với hai đường thẳng \(\Delta _1\),\(\Delta _2\) có vectơ pháp tuyến
\(\vec{n}=[\vec{u_1};\vec{u_2}]=(-5;6;7)\)
Câu 3:
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( \beta \right):2x - 3y + z + 5 = 0\).
A. \(\left( \alpha \right):2x - 3y + z + 11 = 0\)
B. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\)
C. \(\left( \alpha \right): - 2x - 3y + z - 11 = 0\)
D. \(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z + 22 = 0\)
Hướng dẫn
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( \beta \right)\) suy ra vtpt của \(\left( \alpha \right)\) cùng phương với vtpt \(\left( \beta \right)\). Khi đó \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(2x - 3y + z + m = 0\). Mà \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {1; - 2;3} \right)\) nên ta có:\(2.1 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) + 3 + m = 0\)\(\Leftrightarrow m = - 11\). Khi đó phương trình :\((\alpha):2x - 3y + z - 11 = 0\) .
Hay:\(\left( \alpha \right):4x - 6y + 2z - 22 = 0\) .
Dễ thấy B chính là phương án cần tìm.
Câu 4:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình \(2x + 3y - 5z + 2 = 0\). Tìm khẳng định đúng:
A. Vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 5} \right)\)
B. Điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) không thuộc mặt phẳng (P)
C. Mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 3y - 5z = 0\) song song với mặt phẳng (P)
D. Không có khẳng định nào là đúng.
Hướng dẫn
(\overrightarrow u = \left( {2;3; - 5} \right)\) là vectơ pháp tuyến của (P) không phải vectơ chỉ phương.Thay tọa độ \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) vào (P) ta thấy A thỏa mãn phương trình của (P) nên A thuộc (P).
Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) có cùng vectơ pháp tuyến, lấy \(A\left( { - 1;0;0} \right)\) thuộc (P) nhưng không thuộc (Q) nên (P) và (Q) song song.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0;-1;2); B(-1;2;-3); C(0;0;-2).
A. \((P):3x + 4y + z + 2 = 0.\)
B. \((P):7x + 4y + z + 2 = 0\)
C. \((P):5x - 4y + z + 2 = 0\)
D. \((P):7x + 4y - z + 2 = 0\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = ( - 1;3; - 5)\\ \overrightarrow {AC} = (0;1; - 4) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 7; - 4; - 11} \right)\\ \left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(0; - 1;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {7;4;11} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right):7x + 4y + z + 2 = 0. \end{array}\)Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) biết đi qua hai điểm \(A(5; - 2;0);\,B( - 3;4;1)\) và vectơ \(\overrightarrow a = (1;1;1)\) có phương là một đường thẳng song song với \(\left( \alpha \right)\).
A. \(\left( \alpha \right):5x + 9y - 4z - 7 = 0\)
B. \(\left ( \alpha \right ):5x + 9y - 14z - 7 = 0\)
C. \(\left( \alpha \right):5x - 9y - 4z + 7 = 0\)
D. \(\left( \alpha \right):5x + 9y + 4z + 7 = 0\)
Hướng dẫn
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 8;6;1} \right)\\ \overrightarrow a = \left( {1;1;1} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5;9; - 14} \right)\\ \left( \alpha \right)\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(5; - 2;0)\\ VTCP\,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {5;9; - 14} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right):5x + 9y - 14z - 7 = 0. \end{array}\)Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(2; - 1;1),B(1;0;4),C(0; - 2; - 1)\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC.
A. \(2x + y + 5z - 5 = 0.\)
B. \(x + 2y - 5z + 5 = 0.\)
C. \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\)
D. \(2x - y + 5z - 5 = 0\)
Hướng dẫn
\(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 2; - 5} \right)\)Mặt phẳng (P) vuông góc với BC nên nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {1;2;5} \right)\) là VTPT.
Mặt khác (P) đi qua A, nên phương trình của (P) là:
\(1(x - 2) + 2(y + 1) + 5(z - 1) = 0\) hay \(x + 2y + 5z - 5 = 0.\)
Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương tình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \(A(3;1; - 1),\,B(2; - 1;4)\) và song song với trục Ox.
A. \(3x + z - 2 = 0\)
B. \(y - z = 0.\)
C. \(y + z - 3 = 0.\)
D. \(5y + 2z - 3 = 0.\)
Hướng dẫn
Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {1;0;0} \right)\)\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;5} \right)\\ \overrightarrow k = \left( {1;0;0} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right)\)
Mặt phẳng \((P):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(3;1; - 1)\\ VTPT\,\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {0;5;2} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \(0(x - 3) + 5(y - 1) + 2(z + 1) = 0\) hay \(5y + 2z - 3 = 0.\)
Câu 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;5} \right)\)và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình \(3x - 2y + z + 7 = 0\) và \(5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
A. \(x + 2y + z - 5 = 0.\)
B. \(3x + 2y - 2 = 0\)
C. \(3x - 2y - 2z + 2 = 0.\)
D. \(3x - 2z = 0.\)
Hướng dẫn
\({\overrightarrow n _{(P)}} = \left( {3; - 2;1} \right);\,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {5; - 4;3} \right)\)\(\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left\{ \begin{array}{l} qua\,A(2; - 1;5)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}} ;\overrightarrow {{n_{(Q)}}} } \right] = \left( {1;2;1} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:
\(1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0\) hay \(x + 2y + z - 5 = 0\).
Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(3; - 1;2);\,B( - 3;1;2)\).
A. \(3x + y = 0\)
B. \(3x - y = 0\)
C. \(x - 3y = 0\)
D. \(x + 3y = 0\)
Hướng dẫn
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;0} \right)\)Gọi M là trung điểm của AB ta có tọa độ M là: \(M(0;0;2)\)
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB \(\left\{ \begin{array}{l} qua\,M(0;0;2)\\ VTPT\,\overrightarrow n = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;0} \right) \end{array} \right.\)
Nên có phương trình là: \(3(x - 0) - 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - y = 0\).
