Chuyên đề hàm số lũy thừa

[Tăng Giáp]

I. KHÁI NIỆM
Hàm số $y = {x^\alpha }$ với α ∈ R hàm số luỹ thừa.
Chú ý: Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ tuỳ thuộc vào giá trị của α:
- α nguyên dương: D = R
- α không nguyên: D = (0;+∞)

VD1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y = {(1 - x)^{ - \frac{1}{3}}}$
b) $y = {(2 - {x^2})^{\frac{3}{5}}}.$
c) $y = {({x^2} - 1)^{ - 2}}$
d) $y = {({x^2} - x - 2)^{\sqrt 2 }}.$

Lời giải
a) 1 – x > 0 => D = (–∞; 1)
b) \[2 - {x^2} > 0 \Rightarrow D = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\]
c) ${x^2} - 1 \ne 0.$ => D = R \ {–1; 1}
d) ${x^2} - x - 2 > 0.$ => D = (–∞; –1) $ \cup $ (2; +∞)

II. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA
${\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}$ (x > 0)
${\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'$

VD2: Tính đạo hàm:
a) $y = {x^{\frac{3}{4}}}$
b) $y = {x^{ - \frac{2}{3}}}$
c) $y = {x^{\sqrt 3 }}$
d) $y = {x^\pi }$

Lời giải
a) ${y^\prime } = \frac{3}{{4\sqrt[4]{x}}}$
b) ${y^\prime } = - \frac{2}{3}{x^{ - \frac{5}{3}}}$
c) ${y^\prime } = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3 - 1}}$
d) ${y^\prime } = \pi {x^{\pi - 1}}$

VD2: Tính đạo hàm:
a) $y = {\left( {2{{\rm{x}}^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}$
b) $y = {\left( {3{{\rm{x}}^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 }}$
c) $y = {(5 - x)^{\sqrt 3 }}$
d) $y = {(3{\rm{x}} + 1)^{\frac{\pi }{2}}}$

Lời giải
a) ${y^\prime } = \frac{{2(4{\rm{x}} + 1)}}{{3\sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + x - 1}}}}$
b) $y' = \frac{{ - 6{\rm{x}}\sqrt 2 }}{{{{(3{{\rm{x}}^2} - 1)}^{\sqrt 2 + 1}}}}$
c) $y' = - \sqrt 3 {(5 - x)^{\sqrt 3 - 1}}$
d) $y' = \frac{{3\pi }}{2}{(3{\rm{x}} + 1)^{\frac{\pi }{2} - 1}}$

III. KHẢO SÁT HÀM SỐ LUỸ THỪA $y = {x^\alpha }$
$y = {x^\alpha }$ (α < 0)
- (0; +∞)
- $y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} < 0$, x > 0
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0$
Chú ý: Khi khảo sát hàm số luỹ thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó

 

[vachnganhoavan1]

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {10^x}\).
A. \({10^x}.\ln 10\)
B. \({10^x}\ln {10^2}\)
C. \({10^x}{\left( {\ln 10} \right)^2}\)
D. \({10^x}.\ln 20\)

 

[Ngân Trần 123]

Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt[3]{{a\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}\) với a>0.
A. \(A = {a^{\frac{{11}}{{18}}}}\)
B. \(A = {a^{\frac{1}{{18}}}}\)
C. \(A = {a^{\frac{7}{6}}}\)
D. \(A = {a^{\frac{1}{{162}}}}\)

 

[nga]

Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right){4^x}}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
A. \(y' = \left( {1 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){4^x}\ln 4\)
B. \(y' = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right){4^x} + \left( {x + \frac{1}{x}} \right){4^x}\)
C. \(y' = \left( {\frac{{{x^3}\ln 4 + \left( {\ln 4 + 1} \right){x^2} - 1}}{{{x^2}}}} \right){.4^x}\)
D. \(y' = \left( {\frac{{{x^3} + \left( {\ln 4 + 1} \right){x^2} - \ln 4}}{{{x^2}}}} \right){.4^x}\)

 

[nga]

Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ biểu thức \(C = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } .{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\) với a>0.
A. \(C = {a^{\frac{1}{2}}}\)
B. \(C= {a^{\frac{1}{4}}}\)
C. \(C = {a^{\frac{1}{6}}}\)
D. \(C = {a^{\frac{1}{3}}}\)

 

[Ng Vanh]

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = (\sin x - \cos x).{e^{2x}}\).
A. \(f'(x) = \left( {\sin x - c{\rm{osx}}} \right){e^{2x}}\)
B. \(f'(x) = \left( {2\sin x - c{\rm{osx}}} \right){e^{2x}}\)
C. \(f'(x) = \left( {3\sin x - c{\rm{osx}}} \right){e^{2x}}\)
D. \(f'(x) = 2\left( {\sin x + c{\rm{osx}}} \right){e^{2x}}\)

 

[ngân nguyễn]

Tính đạo hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\).
A. \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)
B. \(f'\left( x \right) = {e^x} + {e^{ - x}}\)
C. \(f'\left( x \right) = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)
D. \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)

 

[Ngân Phan]

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {(3 - {x^2})^{ - \frac{4}{3}}}\) trên khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\).
A. \(y = - \frac{4}{3}{(3 - {x^2})^{\frac{{ - 7}}{3}}}\)
B. \(y = \frac{8}{3}x{(3 - {x^2})^{\frac{{ - 7}}{3}}}\)
C. \(y = - \frac{8}{3}x{(3 - {x^2})^{\frac{{ - 7}}{3}}}\)
D. \(y = - \frac{4}{3}{x^2}{(3 - {x^2})^{\frac{{ - 7}}{3}}}\)

 

[ngancong2000]

Tìm tập xác định của hàm số \(y = {(2 - x)^{\sqrt 3 }}\)
A. \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
B. \(D = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(D = \left( { - \infty ;2} \right)\)
D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\)

 

[chacavungtau2017]

Tính giá trị biểu thức \(A = {\left( {\frac{1}{{625}}} \right)^{\frac{{ - 1}}{4}}} + {16^{\frac{3}{4}}} - {2^{ - 2}}{.64^{\frac{1}{3}}}\).
A. A=14
B. A=12
C. A=11
D. A=10

 

[chacavungtau2017]

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}\) là tập hợp nào sau đây?
A. R\{0}
B. R
C. R\{1}
D. R\{e}

 

[chan chan]

Cho bất phương trình \({a^x} \le b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Nếu \(b<0\) , tập nghiệm của bất phương trình là \(\varnothing\).
B. Nếu \(b>0\), \(a>1\) tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;{{\log }_a}b} \right]\).
C. Nếu \(0<a<1\), tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {{{\log }_a}b; + \infty } \right)\).
D. Nếu b=0 tập nghiệm của bất phương trình là \(\varnothing\).

 

[Changkhongtu_02]

Cho hàm số y=x^{\frac{5}{3}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(1;1).
C. Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định.

 

[Changkhongtu_02]

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{e^x}(x + 1)}}{{x - 1}}.\)
A. \(y' = \frac{{{e^x}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
B. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
C. \(y' = \frac{{{e^x}({x^2} - 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
D. \(y' = \frac{{{e^x}(2x + 3)}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

 

[chaoaenhe]

Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {a^x},\,\,y = {b^x},\,\,y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a < b < c\)
B. \(a < c< b\)
C. \(b < c<a\)
D. \(c<a<b\)

 

[chaoaenhe]

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}}\) ?
A. \(y' = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{e^x}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
B. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\ln x\left( {{x^2} + 1} \right) + 2x} \right) + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
C. \(y' = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}{e^x}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
D. \(y' = \frac{{{e^x}\left( {\ln x\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x} \right) + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

 

[CHAT]

Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\) với a,b là các số dương.
A. \(B = \frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{2{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)
B. \(B = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{2{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)
C. \(B = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)
D. \(B = \frac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - 2{b^{\sqrt 3 }}}}\)

 

[Châu Giang0110]

Cho các hàm số:
(I) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) (II) \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) (III) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} \right)^x}\) (IV) \(y = {3^{ - x}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \right)^x}\)
Chọn câu trả lời đúng:
A. (I) (III) là các hàm số đồng biến.
B. (II) (IV) là các hàm số đồng biến.
C. (I) (IV) là các hàm số nghịch biến.
D. (II)(III) là các hàm số nghịch biến.

 

[xinchaoae12ab]

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {10^x}\) .
A. \(y'=\frac{{{{10}^x}}}{{\ln 10}}\)
B. \(y'={10^x}.\ln 10\)
C. \(y'=x{.10^{x - 1}}\)
D. \(y'={10^x}\)

 

[vetnang082015]

Với mọi x là số thực dương .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \({e^x} > 1 + x\)
B. \({e^x} < 1 + x\)
C. \(\sin x > x\)
D. \({2^{ - x}} > x\)