Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân.
Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn và tránh được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài toán về tích phân.
I. Sử dụng định nghĩa
1. Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz
$\int\limits_a^b {f(x)dx = F(x\left. ) \right|} _a^b = F(b) - F(a)$
T/c:
2. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:
Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
1. $\int {kdx = kx} + C$
2. $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C;\,\,(\alpha \in R,\alpha \ne - 1)$ 3. $\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C$
4. $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $
5. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
6. $\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} = {\rm{arctanx + C}}} $ ( hoặc có thế đặt x = tant/2)
7. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = {\rm{arcsinx + C }}$ ( hoặc có thể đặt x = sint)
8. $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx dx = - cosx + C}}} $
9. $\int {{\rm{cosx dx = sinx + C}}} $
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính các tích phân sau
a) I=$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({x^3} + 2x + 1)dx} $
b) I= $\int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^1 {{e^{3x + 1}}dx} $
b) I= $\left( {\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}} \right)\left| {_{\frac{{ - 1}}{3}}^1} \right. = \frac{1}{3}({e^4} - {e^0})$
Bài tập 2: Tính tích phân sau
I = $\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $
* chú ý: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
$I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = - \frac{1}{{x + 1}}\left| {_{ - 2}^2} \right. = - \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$
* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x= -1∈ [- 2; 2] suy ra hàm số không liên tục trên [- 2; 2] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính $\int\limits_a^b {} f(x)dx$ cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [a; b] không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ $\int\limits_0^5 {\frac{{dx}}{{{{(x - 4)}^4}}}}$.
2/ $\int\limits_{ - 2}^3 {x({x^2}} - 1{)^{\frac{1}{2}}}dx$.
3/ $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\cos }^4}x}}} dx$
4/ $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{ - {x^3}.{e^x} + {x^2}}}{{{x^3}}}} dx$
II. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Giả sử ta cần phải tìm $\int {f(u)du} $. Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm $\int {f(u)du} $ đưa về việc tìm $\int {f(u(x))u'(x)dx} $ một cách đơn giản hơn.
Bài tập 1: Tính tích phân:
$I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx} $
Đổi cận: x = 0 → t = 1
x = √3 → t = 2
Khi đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}\sqrt {1 + {x^2}} } .xdx = \int\limits_1^2 {{{({t^2} - 1)}^2}{t^2}dt} = \left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{{848}}{{105}}$
Bài tập 2:
Tính tích phân: I = $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} $
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan(x/2) thì $dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}};\,\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 + {t^2}}}{{{{(1 + t)}^2}}}$
$\begin{array}{l} \to \int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int {\frac{{2dt}}{{{{(1 + t)}^2}}}} = \int {2{{(t + 1)}^{ - 2}}} d\left( {t + 1} \right) = - \frac{2}{{t + 1}} + c\\\to \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{x}{2}} \right) + 1}}\left| {_0^\pi } \right. = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1}} - \frac{2}{{\tan \left( 0 \right) + 1}}\end{array}$
Do tan(π/2) không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan(x/2) ∈ [0; π] tại x = π thì tan(x/2) không có nghĩa.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b].
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $
2/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \cos x}}} $
Bài tập 3: Tính $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^{}}} }}} $
Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } $dx
$I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}} \left| {_0^4} \right. = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = - 4$
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi ${\sqrt {\left( {x - 3} \right)} ^2} = x – 3$ với x ∈ [0; 4] là không tương đương.
* Lời giải đúng:
$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx\\ = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left| {x - 3} \right|} d\left( {x - 3} \right) = \int\limits_0^3 { - \left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) + \int\limits_3^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right)} } \\
= - \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_0^3} \right. + \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_3^4} \right. = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5\end{array}$
* Chú ý đối với học sinh:
$\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}} = \left| {f\left( x \right)} \right|;\,\,\left( {n \ge 1,n \in N} \right)$
$I = \int\limits_a^b {\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [a; b] rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
1/ $I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} } dx$;
2/ $I = \int\limits_0^3 {\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x} } .dx$
3/ $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} \right)} } dx$
4/ I = $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {t{g^2}x + \cot {g^2}x - 2} }$dx
Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} $
$\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{d\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}} = \arctan \left( {x + 1} \right)\left| {_{ - 1}^0} \right. = \arctan \left( 1 \right) - \arctan \left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}$
* Nguyên nhân sai lầm :
Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào chương trình thpt.
* Lời giải đúng:
Đặt x + 1 = tant → dx = (1 + tan$^2$t)dt
với x = -1 thì t = 0
với x = 0 thì t = π/4
Khi đó $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{{{\tan }^{}}t + 1}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt = t\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4}} $
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng $\int\limits_a^b {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}$ ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $ thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
1/ I = $\int\limits_4^8 {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x}dx}$
2/ I = $\int\limits_0^1 {\frac{{2{x^3} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}} dx$
3/ I =$\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 - {x^8}} }}} $
Bài tập 5:
Tính :I = $\int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $
$\int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int {\frac{{{{\sin }^3}t}}{{\left| {\cos t} \right|}}dt} } $
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x= 1/4 thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}} $ thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 1/4 không tìm được chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} \to dt = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx \to tdt = xdx$
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1/4 thì t = $\frac{{\sqrt {15} }}{4}$
$I = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = } \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\frac{{\left( {1 - {t^2}} \right)tdt}}{t} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\left( {1 - {t^2}} \right)dt = \left( {t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} \right. = \left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4} - \frac{{15\sqrt {15} }}{{192}}} \right) - \frac{2}{3} = \frac{{33\sqrt {15} }}{{192}} - \frac{2}{3}} } $
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}}$ thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+ x$^2$ thì đặt x = tan(t) nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
1/ tính I = $\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$
2/tính I = $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
Bài tập 6: tính I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx}$
Đặt $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$
Đổi cận với x = -1 thì t = - 2 ; với x = 1 thì t = 2;
$\begin{array}{l}t = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 2}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {(\frac{1}{{t + \sqrt 2 }}} - \frac{1}{{t - \sqrt 2 }})dt = \left( {\ln \left| {t + \sqrt 2 } \right| - \ln \left| {t - \sqrt 2 } \right|} \right)\left| {_{ - 2}^2} \right. = \ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right|\left| {_{ - 2}^2} \right.\\ = \ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }} - \ln \left| {\frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{{ - 2 - \sqrt 2 }}} \right| = 2\ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}\end{array}$
* Nguyên nhân sai lầm: $\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + {x^2}}}$ là sai vì trong [-1; 1] chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x = 0 không thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời.
* Lời giải đúng:
xét hàm số:
$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\\F'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}(\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}})' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}\end{array}$
Do đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}$
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.
BÀI TẬP ĐỀ NGHI
1) a)Tính $\int {\sqrt {{x^2} + a} } dx$ ( tính đạo hàm của hàm số f(x)= $x\sqrt {{x^2} + a} $)
2) $\int\limits_0^1 {{x^3}{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}dx} $ ( đặt t = x$^2$ + 1)
3) $\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt x = π - t )
4) $\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^4}}}dx} $ ( đặt t = 1/x)
5) $\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} $
6) $\int {\sqrt {{a^2} + {x^2}} dx} $
7) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\tan }^2}x}}} $ ( đặt t = tan x)
8) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + \sin 2x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt t = 1 + sin2x )
III. Phương pháp tích phân từng phần
Từ đẳng thức (uv)’ = uv’+u’v
Ta có: $\int {uv'dx = uv - \int {u'vdx} } $ đó là công thức tính tích phân từng phần
Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} $ ta thực hiện các bước như sau:
1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân $\int\limits_a^b {vu'dx}$ được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau:
Dạng 1 :
$I = \int\limits_{}^{} {{x^\alpha }l{\rm{inxdx,}}} $ khi đó cần đặt u = linx
Dạng 2:
$I = \int {p(x){e^{\alpha x}}dx}$ với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x)
Dạng 3:
$I = \int {p(x)\sin \alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {p(x)c{\rm{os}}\alpha xdx} $ ) Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt u = P(x)
Dạng 4: $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}c{\rm{os}}\alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}\sin \alpha xdx} $ ) Khi đó đặt u = cos ax (hoặc u = sin ax)
Bài tập 1:
a) Tìm $\int {{x^3}l{\rm{nx dx}}} $
b)Tìm $\int {{x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxdx}}} $
$v' = {x^3},v = \frac{{{x^4}}}{4}$
Khi đó ta có
$I = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - \frac{1}{4}\int {{x^3}dx = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - {x^4} + C} $
b)Đặt $ u = {x^2};\,\,u' = 2x;\,\,v' = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx, v = - cosx}}$
Khi đó :
$\begin{array}{l}I = - {x^2}c{\rm{osx - 2}}\int {{\rm{xcosxdx}}} = - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx - }}\int {{\rm{sinxdx)}}} \\= - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx + cosx) + C}}\end{array}$
Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn. C ó những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Chú y bài toán sau
Bài tập 2: Tính $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2x}}c{\rm{os3xdx}}} $
$I = \left[ {{e^{2{\rm{x}}}}\frac{{\sin 3{\rm{x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx = }}} - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}{I_1}$
Tính I$_1$ Đặt $u = {e^{2{\rm{x}}}} \to u' = 2{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}};\,v = \sin 3{\rm{x, v' = }}\frac{{{\rm{ - cos3x}}}}{{\rm{3}}}$
$\begin{array}{l}{I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx}}} = \left[ { - {e^{2{\rm{x}}}}\frac{{c{\rm{os3x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} + \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}c{\rm{os3x dx}}} = \frac{1}{3} + I\\
\end{array}$
Do đó:
$I = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3} + I} \right) = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{9} - \frac{4}{9}I \Rightarrow I = - \frac{{3{{\rm{e}}^\pi } + 2}}{{13}}$
Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn. Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại.
Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn và tránh được những sai lầm thường mắc phải khi giải bài toán về tích phân.
I. Sử dụng định nghĩa
1. Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz
$\int\limits_a^b {f(x)dx = F(x\left. ) \right|} _a^b = F(b) - F(a)$
T/c:
- Tính chất 1: $\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} } $
- Tính chất 2: $\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } $ với k thuộc R
- Tính chất 3: $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} } } $
- Tính chất 4: $\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_b^c {f(x)dx} } } $
2. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:
Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
1. $\int {kdx = kx} + C$
2. $\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C;\,\,(\alpha \in R,\alpha \ne - 1)$ 3. $\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C$
4. $\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} $
5. $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $
6. $\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} = {\rm{arctanx + C}}} $ ( hoặc có thế đặt x = tant/2)
7. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = {\rm{arcsinx + C }}$ ( hoặc có thể đặt x = sint)
8. $\int {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx dx = - cosx + C}}} $
9. $\int {{\rm{cosx dx = sinx + C}}} $
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính các tích phân sau
a) I=$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({x^3} + 2x + 1)dx} $
b) I= $\int\limits_{\frac{{ - 1}}{3}}^1 {{e^{3x + 1}}dx} $
Giải
a) I = $\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + {x^2} + x} \right)\left| {_1^{\sqrt 2 }} \right. = \left( {1 + 2 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\frac{1}{4} + 1 + 1} \right) = \frac{3}{4} + \sqrt 2 $b) I= $\left( {\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}} \right)\left| {_{\frac{{ - 1}}{3}}^1} \right. = \frac{1}{3}({e^4} - {e^0})$
Bài tập 2: Tính tích phân sau
I = $\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $
Giải
Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x = -1 ∈ [- 2; 2] suy ra hàm số không liên tục trên [- 2; 2] do đó tích phân trên không tồn tại.* chú ý: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
$I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = - \frac{1}{{x + 1}}\left| {_{ - 2}^2} \right. = - \frac{1}{3} - 1 = - \frac{4}{3}$
* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x= -1∈ [- 2; 2] suy ra hàm số không liên tục trên [- 2; 2] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính $\int\limits_a^b {} f(x)dx$ cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [a; b] không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ $\int\limits_0^5 {\frac{{dx}}{{{{(x - 4)}^4}}}}$.
2/ $\int\limits_{ - 2}^3 {x({x^2}} - 1{)^{\frac{1}{2}}}dx$.
3/ $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\cos }^4}x}}} dx$
4/ $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{ - {x^3}.{e^x} + {x^2}}}{{{x^3}}}} dx$
II. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Giả sử ta cần phải tìm $\int {f(u)du} $. Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi như u như một hàm khả vi theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm $\int {f(u)du} $ đưa về việc tìm $\int {f(u(x))u'(x)dx} $ một cách đơn giản hơn.
Bài tập 1: Tính tích phân:
$I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^5}\sqrt {1 + {x^2}} dx} $
Giải
Đặt $t = \sqrt {1 + {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow 2tdt = 2xdx$Đổi cận: x = 0 → t = 1
x = √3 → t = 2
Khi đó: $\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}\sqrt {1 + {x^2}} } .xdx = \int\limits_1^2 {{{({t^2} - 1)}^2}{t^2}dt} = \left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^2} \right. = \frac{{848}}{{105}}$
Bài tập 2:
Tính tích phân: I = $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} $
Giải
$I = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)}} = } \int\limits_0^\pi {\frac{{d\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\left| {_0^\pi } \right.} = \tan \frac{\pi }{4} - \tan \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right) = 2$* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan(x/2) thì $dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}};\,\frac{1}{{1 + \sin x}} = \frac{{1 + {t^2}}}{{{{(1 + t)}^2}}}$
$\begin{array}{l} \to \int {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int {\frac{{2dt}}{{{{(1 + t)}^2}}}} = \int {2{{(t + 1)}^{ - 2}}} d\left( {t + 1} \right) = - \frac{2}{{t + 1}} + c\\\to \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{x}{2}} \right) + 1}}\left| {_0^\pi } \right. = \frac{{ - 2}}{{\tan \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1}} - \frac{2}{{\tan \left( 0 \right) + 1}}\end{array}$
Do tan(π/2) không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan(x/2) ∈ [0; π] tại x = π thì tan(x/2) không có nghĩa.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b].
*Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $
2/ $\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \cos x}}} $
Bài tập 3: Tính $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - {a^{}}} }}} $
Giải
Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} - a} \Rightarrow \frac{{dt}}{t} = \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - a} }} \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - a} }}} = \int {\frac{{dt}}{t} = \ln t + C} $Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } $dx
Giải
* Sai lầm thường gặp:$I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}} \left| {_0^4} \right. = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = - 4$
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi ${\sqrt {\left( {x - 3} \right)} ^2} = x – 3$ với x ∈ [0; 4] là không tương đương.
* Lời giải đúng:
$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^4 {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} } dx\\ = \int\limits_0^4 {\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^4 {\left| {x - 3} \right|} d\left( {x - 3} \right) = \int\limits_0^3 { - \left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right) + \int\limits_3^4 {\left( {x - 3} \right)d\left( {x - 3} \right)} } \\
= - \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_0^3} \right. + \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{2}\left| {_3^4} \right. = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5\end{array}$
* Chú ý đối với học sinh:
$\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}} = \left| {f\left( x \right)} \right|;\,\,\left( {n \ge 1,n \in N} \right)$
$I = \int\limits_a^b {\sqrt[{2n}]{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{2n}}}}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên [a; b] rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự:
1/ $I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} } dx$;
2/ $I = \int\limits_0^3 {\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + x} } .dx$
3/ $I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} \right)} } dx$
4/ I = $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {t{g^2}x + \cot {g^2}x - 2} }$dx
Bài tập 4: Tính I = $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} $
Giải
* Sai lầm thường gặp:$\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{d\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1}}} = \arctan \left( {x + 1} \right)\left| {_{ - 1}^0} \right. = \arctan \left( 1 \right) - \arctan \left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}$
* Nguyên nhân sai lầm :
Đáp số của bài toán thì không sai. Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vào chương trình thpt.
* Lời giải đúng:
Đặt x + 1 = tant → dx = (1 + tan$^2$t)dt
với x = -1 thì t = 0
với x = 0 thì t = π/4
Khi đó $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{{{\tan }^{}}t + 1}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt = t\left| {_0^{\frac{\pi }{4}}} \right. = \frac{\pi }{4}} $
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng $\int\limits_a^b {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx}$ ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $ thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
1/ I = $\int\limits_4^8 {\frac{{\sqrt {{x^2} - 16} }}{x}dx}$
2/ I = $\int\limits_0^1 {\frac{{2{x^3} + 2x + 3}}{{{x^2} + 1}}} dx$
3/ I =$\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 - {x^8}} }}} $
Bài tập 5:
Tính :I = $\int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} $
Giải
*Suy luận sai lầm: Đặt x = sint , dx = costdt$\int {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = \int {\frac{{{{\sin }^3}t}}{{\left| {\cos t} \right|}}dt} } $
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x= 1/4 thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}} $ thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 1/4 không tìm được chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} \to dt = \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx \to tdt = xdx$
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 1/4 thì t = $\frac{{\sqrt {15} }}{4}$
$I = \int\limits_0^{\frac{1}{4}} {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = } \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\frac{{\left( {1 - {t^2}} \right)tdt}}{t} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}} {\left( {1 - {t^2}} \right)dt = \left( {t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {_1^{\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} \right. = \left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4} - \frac{{15\sqrt {15} }}{{192}}} \right) - \frac{2}{3} = \frac{{33\sqrt {15} }}{{192}} - \frac{2}{3}} } $
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa $\sqrt {1 - {x^2}}$ thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+ x$^2$ thì đặt x = tan(t) nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnphương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
1/ tính I = $\int\limits_0^{\sqrt 7 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} dx$
2/tính I = $\int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + 1} }}} $
Bài tập 6: tính I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx}$
Giải
* Sai lầm thường mắc: I = $\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + {x^2}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 2}}dx} } $Đặt $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$
Đổi cận với x = -1 thì t = - 2 ; với x = 1 thì t = 2;
$\begin{array}{l}t = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 2}}} = \int\limits_{ - 2}^2 {(\frac{1}{{t + \sqrt 2 }}} - \frac{1}{{t - \sqrt 2 }})dt = \left( {\ln \left| {t + \sqrt 2 } \right| - \ln \left| {t - \sqrt 2 } \right|} \right)\left| {_{ - 2}^2} \right. = \ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right|\left| {_{ - 2}^2} \right.\\ = \ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }} - \ln \left| {\frac{{ - 2 + \sqrt 2 }}{{ - 2 - \sqrt 2 }}} \right| = 2\ln \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}\end{array}$
* Nguyên nhân sai lầm: $\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\frac{1}{{{x^2}}} + {x^2}}}$ là sai vì trong [-1; 1] chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x = 0 không thuộc thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời.
* Lời giải đúng:
xét hàm số:
$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\\F'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}(\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}})' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}\end{array}$
Do đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{1 + {x^4}}}dx} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{{x^2} - x\sqrt 2 + 1}}{{{x^2} + x\sqrt 2 + 1}}\left| {_{ - 1}^1} \right. = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}$
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.
BÀI TẬP ĐỀ NGHI
1) a)Tính $\int {\sqrt {{x^2} + a} } dx$ ( tính đạo hàm của hàm số f(x)= $x\sqrt {{x^2} + a} $)
2) $\int\limits_0^1 {{x^3}{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}dx} $ ( đặt t = x$^2$ + 1)
3) $\int\limits_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt x = π - t )
4) $\int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^4}}}dx} $ ( đặt t = 1/x)
5) $\int\limits_0^a {\sqrt {{a^2} - {x^2}} dx} $
6) $\int {\sqrt {{a^2} + {x^2}} dx} $
7) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\tan }^2}x}}} $ ( đặt t = tan x)
8) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + \sin 2x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x}}dx} $ ( đặt t = 1 + sin2x )
III. Phương pháp tích phân từng phần
Từ đẳng thức (uv)’ = uv’+u’v
Ta có: $\int {uv'dx = uv - \int {u'vdx} } $ đó là công thức tính tích phân từng phần
Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} $ ta thực hiện các bước như sau:
- Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng
- Bước 2: đặt
- Bước 3: Khi đó $I = uv\left| {_a^b - \int\limits_a^b {uv'dx} } \right.$
1. Lựa chọn phép đặt v’ sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân $\int\limits_a^b {vu'dx}$ được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau:
Dạng 1 :
$I = \int\limits_{}^{} {{x^\alpha }l{\rm{inxdx,}}} $ khi đó cần đặt u = linx
Dạng 2:
$I = \int {p(x){e^{\alpha x}}dx}$ với P là một đa thức. Khi đó ta đặt u= p(x)
Dạng 3:
$I = \int {p(x)\sin \alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {p(x)c{\rm{os}}\alpha xdx} $ ) Với P(x) là một đa thức và khi đó ta đặt u = P(x)
Dạng 4: $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}c{\rm{os}}\alpha xdx} $ (hoặc $I = \int {{e^{{\rm{ax}}}}\sin \alpha xdx} $ ) Khi đó đặt u = cos ax (hoặc u = sin ax)
Bài tập 1:
a) Tìm $\int {{x^3}l{\rm{nx dx}}} $
b)Tìm $\int {{x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inxdx}}} $
Giải
a) đặt u = lnx, u’=1/x$v' = {x^3},v = \frac{{{x^4}}}{4}$
Khi đó ta có
$I = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - \frac{1}{4}\int {{x^3}dx = \frac{{{x^4}\ln x}}{4} - {x^4} + C} $
b)Đặt $ u = {x^2};\,\,u' = 2x;\,\,v' = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx, v = - cosx}}$
Khi đó :
$\begin{array}{l}I = - {x^2}c{\rm{osx - 2}}\int {{\rm{xcosxdx}}} = - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx - }}\int {{\rm{sinxdx)}}} \\= - {x^2}c{\rm{osx + 2(xsinx + cosx) + C}}\end{array}$
Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln, sin, cos, hàm mũ. Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân từng phần nếu như gặp khó khăn. C ó những bài toán mà chúng ta cần phải sử dụng tích phân từng phần nhiều lần. Chú y bài toán sau
Bài tập 2: Tính $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2x}}c{\rm{os3xdx}}} $
Giải
Đặt $u = {e^{2{\rm{x}}}};u' = 2{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}};\,v = \cos \left( {3x} \right);\,v' = \frac{{\sin \left( {3x} \right)}}{3}$$I = \left[ {{e^{2{\rm{x}}}}\frac{{\sin 3{\rm{x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx = }}} - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}{I_1}$
Tính I$_1$ Đặt $u = {e^{2{\rm{x}}}} \to u' = 2{{\rm{e}}^{{\rm{2x}}}};\,v = \sin 3{\rm{x, v' = }}\frac{{{\rm{ - cos3x}}}}{{\rm{3}}}$
$\begin{array}{l}{I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}\sin 3{\rm{x dx}}} = \left[ { - {e^{2{\rm{x}}}}\frac{{c{\rm{os3x}}}}{{\rm{3}}}} \right]_0^{\frac{\pi }{2}} + \frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{2{\rm{x}}}}c{\rm{os3x dx}}} = \frac{1}{3} + I\\
\end{array}$
Do đó:
$I = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3} + I} \right) = - \frac{{{e^\pi }}}{3} - \frac{2}{9} - \frac{4}{9}I \Rightarrow I = - \frac{{3{{\rm{e}}^\pi } + 2}}{{13}}$
Chú ý: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó khăn. Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm có tính chất lặp đi lặp lại.
