Hệ thống các bài toán cơ bản về phương trình mặt phẳng, đường thẳng

[Doremon]

1.mặt phẳng qua điểm A(x$_0$ , y$_0$ , z$_0$ ) có vecto pháp tuyến $\vec n$ (A,B,C) .

​

Pt: A(x-x$_0$ ) +B(y-y$_0$) + C(z – z$_0$ ) = 0 Hoặc Ax +By +Cz +D =0 ,
thay toạ độ A vào thoả, giải tìm D.

2.mặt phẳng(α) qua A(x$_0$ , y$_0$ , z$_0$ ) , vuông góc với đường thẳng d

​

- Từ PTTS hoặc PTCT hoặctừ 2 điểm của d , tìmvecto chỉ phương $\vec u$.
- mặt phẳng(α) có vecto pháp tuyến là $\vec u$.
- Giải tiếp như bài toán 1.

3. mặt phẳng(α) qua A(x$_0$ , y$_0$ , z$_0$ ), và song song với mặt phẳng(P)

​

- Tìm vecto pháp tuyến của (P) là $\vec n$.
- vecto pháp tuyến của (α) cũng là $\vec n$.
- Giải tiếp như bài toán 1.

4. mặt phẳng(α) qua A,B,C cho trước.

​

- vecto pháp tuyến của (α) là $\vec n$ = $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.
- (α) qua A cho trước.
- Giải tiếp như bài toán 1.

5. mặt phẳng(α) chứa 2 đgth cắt nhau a,b.

​

- Tìm vecto chỉ phương của a,b lần lượt là $\vec u$, $\vec v$.
- vecto pháp tuyến của (α) là $\vec n$ = $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.
- Lấy điểm A trên a, thì Athuộc(α).
- Giải tiếp như bài toán 1.

6. mặt phẳng(α) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau.

​

- Tìm vecto chỉ phương của a,b lần lượt là $\vec u$,$\vec v$.
- vecto pháp tuyến của (α) là $\vec n$ = $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.
- Giải tiếp như bài toán 1.
< Bài toán: Viết pt mặt phẳng (α) chứa a và song song b ( chéo a), giải tương tự. Khi đó điểm cho trước A∈ (α), được lấy bất kỳ trên a >

7. mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với 2 mặt phẳng (α),(β) cắt nhau.

​

- Tìm vecto pháp tuyến của (α),(β)
là $\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} $
- vecto pháp tuyến của (P) là $\vec n$ = $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$.
- Giải tiếp như bài 1.
< Bài toán này có thể đưa về
dạng bài B5, và A2: Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với giao tuyến của (α),(β) >

8. mặt phẳng(α) qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng(β) cho trước.

​

- Tìm vecto chỉ phương của d là $\vec u$.
- Tìm vecto pháp tuyến của (β) là
$\overrightarrow {{n_1}} $.
- vecto pháp tuyến của (α) là $\vec n$
= $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_1}} } \right]$.
- Tìm điểm A∈d thì A∈ (α).
- Giải tiếp như bài toán 1.

 

[Doremon]

II. ĐƯỜNG THẲNG
1.đường thẳng dqua điểm A(x$_0$ , y$_0$,z$_0$ ), có vecto chỉ phương $\vec u$ (a, b, c)

​

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$

2.đường thẳng d qua A(x$_0$ , y$_0$ , z$_0$ ), vuông góc với mặt phẳng(α)

- Từ phương trình tổng quát của (α) tìm vecto pháp tuyến $\vec n$.
- vecto chỉ phương của d là $\vec n$.
- Giải tiếp như bài toán 1.

3.đường thẳng d qua A(x$_0$ , y$_0$ , z$_0$ ), song song với đường thẳng a.

​

- Tìm vecto chỉ phương của a là $\vec u$.
- vecto chỉ phương của d cũng là $\vec u$.
Giải tiếp như bài toán 1.

4. đường thẳng d qua A, B cho trước.

​

- vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow {AB} $.
- d qua A cho trước.
- Giải tiếp như bài toán 1.

5. đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau (α),(β).

​

- Tìm vecto pháp tuyến của (α),(β) lần
lượt là $\overrightarrow {{n_1}} $, $\overrightarrow {{n_2}} $.
- vecto chỉ phương của d là $\vec u$ = $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$.
- Tìm 1 điểm A có toạ độ thoả phương trình (α),(β)thì A∈d.
- Giải tiếp như bài toán 1.

6. đường thẳng d qua A và song song với 2 mặt phẳng (α),(β) cắt nhau.

​

- Tìm vecto pháp tuyến của (α),( β) lần
lượt là $\overrightarrow {{n_1}} $, $\overrightarrow {{n_2}} $.
- vecto chỉ phương của d là $\vec u$ = $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]$. .
- Giải tiếp như bài toán 1.

7. đường thẳng d qua A và vuông góc với 2 đgth a,b chéo nhau.

​

- Tìm vecto chỉ phương của a,b là $\overrightarrow {{u_1}} $ và
$\overrightarrow {{u_2}} $.
- vecto chỉ phương của d là $\vec u$= $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$.
- Giải tiếp như câu 1.

8. đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (α) cho trước, vuông góc và cắt đường xiên a.

​

- Tìm vecto chỉ phương của a là $\overrightarrow {{u_1}} $.
- Tìm vecto pháp tuyến của (α) là $\vec n$.
- vecto chỉ phương của d là $\vec u$= $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow n } \right].$
- Tìm giao điểm của a và (α) là A.
- đường thẳng d phải qua A và có vecto chỉ phương $\vec u$, viết được PTTS.

 

[Doremon]

III. Các bài toán về hai đường thẳng chéo nhau
1. Đường thẳng d qua một điểm A và cắt cả 2 đường a, b.

- Viết phương trình mp(A,a), đặt là (α).
- Viết phương trình mp(B,a), đặt là (β).
- Viết PTTS của d là giao tuyến của (α), (β)

2. Đường thẳng d song song với một đgth Δ và cắt cả 2 đường a, b.

- Viết phương trình mp(α) qua a và song song Δ.
<Bài toán A6’>
- Viết phương trình mp (β) qua b và song song Δ.
- Viết PTTS của d là giao tuyến của (α), (β).
10. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a, b.

- Tìm VTCP $\vec u$ của d <Bài toán B7>.( $\vec u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$với $\overrightarrow {{u_1}} $ và
$\overrightarrow {{u_2}} $ là VTCP của a,b ).
- Viết phương trình mp (α) qua a và d < Bài toán A5 >.
- Viết phương trình mp (β) qua b và d < Bài toán A5 >.
- Viết phương trình đgth d là giao tuyến của (α),(β).

IV. Các bài toán về hình chiếu của điểm, đường thẳng.
1. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên mp (α).

- Viết phtrình đgth d qua A và vuông góc với (α) (Bài toán B2 ).
- Tìm toạ độ giao điểm I của d và (α) ( Giải hệ gồm phương trình d và (α).

2. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đgth d.

- Viết phtrình mp (α) qua A và vuông góc với d (Bài toán A2 )
- Tìm toạ độ giao điểm I của (α) và d ( Giải hệ gồm phtrình (α) và d .

3. Viết phtrình hình chiếu d’ của đgth d trên mp (β).

- Viết phtrình mp (α) qua d và vuông góc với (β)
( Bài toán A8 )
- d’ là giao tuyến của mp (α) và mp (β) .
- Viết PTTS của d’ ( Bài toán B5 ).

 

[Trieuhao]

Bác bạn giúp mình cách viết pt mặt phẳng qua 1 điểm và chứa 1 đường với. Mình xin cảm ơn