I.Tóm tắt lý thuyết:
1. Điều kiện để hàm số đồng biến ,nghịch biến:
Tam thức bậc hai f(x)= ax$^2$ +bx +c (a ≠ 0)
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} - 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ∞).
Ví dụ 2: Tìm m để $y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}$ nghịch biến trên [1; + ∞).
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = \frac{{ - 1}}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x – 4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3).
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
a) F(x) = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.
b) F(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.
1. Điều kiện để hàm số đồng biến ,nghịch biến:
- Điều kiện cần và đủ để y = f(x) đồng biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).
- Điều kiện cần và đủ để y = f(x) nghịch biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).
Tam thức bậc hai f(x)= ax$^2$ +bx +c (a ≠ 0)
- Điều kiện để $f(x) \ge 0\,\,(\forall x \in R)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a > 0\end{array} \right.$
- Điều kiện để $f(x) \le 0\,\,(\forall x \in R)\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a < 0\end{array} \right.$
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} - 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ∞).
[2; +∞) ↔ 0 ≤ y’ ∀x ∈ (2; +∞) ↔ 12m(x - 1) ≤ 3x$^2$ - 6x + 5 ∀x ∈ (2; +∞)
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{12(x - 1)}} \ge m\,$ ∀x ∈ (2; +∞)
f’(x) = $\frac{{3x(x - 2) + 1}}{{12{{(x - 1)}^2}}}$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ (2; +∞)
→ f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên $f(x) > f(2) = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{12(x - 1)}} \ge m\,$ ∀x ∈ (2; +∞)
f’(x) = $\frac{{3x(x - 2) + 1}}{{12{{(x - 1)}^2}}}$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ (2; +∞)
→ f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên $f(x) > f(2) = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}$
Ví dụ 2: Tìm m để $y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}$ nghịch biến trên [1; + ∞).
Hàm nghich biến trên
[1; + ∞) ↔ y’ ≤ 0 ∀x ∈ [1; + ∞)↔mx$^2$ + 4mx + 14 ≤0; ∀x ∈[1; + ∞)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \ge m\,\,\forall x \in (2; + \infty )\\
f'(x) = \frac{{12(2x + 4)}}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\
\to f(x)dong\,bien\,\,\,tren\,\,\left[ {1; + \infty } \right)\,\,nen\,\,\,f(x) > f(1) = \frac{{ - 14}}{5} \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 14}}{5}
\end{array}$
[1; + ∞) ↔ y’ ≤ 0 ∀x ∈ [1; + ∞)↔mx$^2$ + 4mx + 14 ≤0; ∀x ∈[1; + ∞)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{ - 14}}{{{x^2} + 4x}} \ge m\,\,\forall x \in (2; + \infty )\\
f'(x) = \frac{{12(2x + 4)}}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\\
\to f(x)dong\,bien\,\,\,tren\,\,\left[ {1; + \infty } \right)\,\,nen\,\,\,f(x) > f(1) = \frac{{ - 14}}{5} \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 14}}{5}
\end{array}$
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = \frac{{ - 1}}{3}{x^3} + (m - 1){x^2} + (m + 3)x – 4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3).
(0; 3) ↔ y’ ≥ 0 ∀x ∈ [0; 3] ↔ -x$^2$ + 2(m - 1)x + m + 3 ≥ 0 ∀x ∈ [0; 3]
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} \le m\,$ ∀x ∈ [0; 3]
f’(x) = $\frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ [0; 3]
→ f(x) đồng biến trên [0;3] nên $Max\,\,f(x) = f(3) = \frac{{12}}{7} \le m$
$ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{2x + 1}} \le m\,$ ∀x ∈ [0; 3]
f’(x) = $\frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ [0; 3]
→ f(x) đồng biến trên [0;3] nên $Max\,\,f(x) = f(3) = \frac{{12}}{7} \le m$
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
a) F(x) = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.
b) F(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.
Last edited by a moderator:
